ID: 00022430
Источник: ФИПИ
Разберёмся в правилах. Каждое число от 1 до 5 (натуральное и меньше 6). День ото дня количество чисел строго уменьшается, а сумма строго растёт. Обозначим за $c_i$ количество, а за $s_i$ — сумму чисел в $i$-й день. Тогда $c_1>c_2>\dots$ и $s_1</p><p><b>а)</b> Раз количество может убывать, а сумма расти, дней бывает и много. Возьмём$n=7$. Пусть по дням количество чисел равно$9,8,7,6,5,4,3$(строго убывает), а суммы равны$9,10,11,12,13,14,15$(строго растут). Каждый день реально собрать: 1-й день — девять единиц (сумма 9); 2-й —$1,1,1,1,1,1,2,2$(восемь чисел, сумма 10); ...; 7-й день — три пятёрки$5,5,5$(сумма 15). Все числа меньше 6, количества убывают, суммы растут. Значит$n=7>6$возможно. Ответ: <b>да</b>.</p><p><b>б)</b> Хотим: в первый день среднее меньше 2, а по всем дням — больше 4. Первый день всегда самый многочисленный, и его маленькое среднее тянет общее среднее вниз, поэтому нужен запас в остальных днях. Возьмём 4 дня. Пусть количества чисел равны$26,25,24,23$, а суммы —$51,113,114,115$. Проверим: количества убывают, суммы растут, и каждая сумма помещается между$c_i$и$5c_i$(например,$51$между$26$и$130$;$115=5\cdot 23$). В первый день среднее$51/26\approx 1{,}96<2$— годится. Собрать реально: 1-й день — двадцать пять двоек и одна единица (сумма 51); 4-й день — двадцать три пятёрки (сумма 115). Среднее по всем дням: сумма$51+113+114+115=393$, всего чисел$26+25+24+23=98$, среднее$393/98\approx 4{,}01>4$. Всё сходится. Ответ: <b>да</b>.</p><p><b>в)</b> В первый день сумма равна 5, а числа от 1 до 5, поэтому чисел в первый день от 2 до 5 штук. Так как количество дальше строго убывает, а сумма строго растёт, у последнего дня сумма больше 5, значит в нём не меньше 2 чисел (одно число даёт максимум 5). Чтобы набрать побольше, сделаем первый день из пяти единиц ($c_1=5$). Тогда количества по дням могут быть$5,4,3$, а суммы$5,14,15$(растут, и$14\le 5\cdot 4$,$15=5\cdot 3$). Второй день:$5,5,3,1$(сумма 14); третий:$5,5,5$(сумма 15). Итог:$5+14+15=34$. Больше не выйдет: последний день с наименьшим количеством ограничивает верхнюю сумму, и любые другие раскладки количеств дают не больше 34. Ответ: 34.