Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022428

Отсортируем: $a_1&lt;\dots</p><p><b>а)</b> Может ли наименьшее равняться 14? Если$a_1=14$, то все числа не меньше 14, и шесть наименьших дают не меньше$14+15+16+17+18+19 = 99$, а нужно 36. Противоречие. Нет.</p><p><b>б)</b> Может ли среднее всех десяти быть$8{,}4$? Сумма всех равна$36 + (72 - a_5 - a_6) = 108 - (a_5+a_6)$. Если среднее$8{,}4$, сумма 84, значит$a_5+a_6 = 24$. Посмотрим на шесть наибольших: числа$a_7,a_8,a_9,a_{10}$больше$a_6$хотя бы на$1,2,3,4$, поэтому$72 = a_5+a_6+(a_7+\dots+a_{10}) \ge (a_5+a_6) + (4a_6 + 10)$. При$a_5+a_6=24$имеем$a_6>12$, значит$a_6\ge 13$, и правая часть не меньше$24 + 4\cdot 13 + 10 = 86 > 72$. Противоречие. Нет.</p><p><b>в)</b> Наименьшее среднее отвечает наибольшей сумме$T=a_5+a_6$. Из шести наибольших получаем$72\ge (a_5+a_6)+4a_6+10$; подставив$a_5=T-a_6$, имеем$T+4a_6\le 62$, откуда$a_6\le \dfrac{62-T}{4}$. С другой стороны$a_6>\dfrac{T}{2}$(ведь$a_5