Задание 19 ЕГЭ по математике: На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее…

№2. Задание 19

ID: 00022428

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 14? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4? в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Отсортируем: $a_1<\dotsа) Может ли наименьшее равняться 14? Если$ a_1=14 $, то все числа не меньше 14, и шесть наименьших дают не меньше$ 14+15+16+17+18+19 = 99 $, а нужно 36. Противоречие. Нет.б) Может ли среднее всех десяти быть$ 8{,}4 $? Сумма всех равна$ 36 + (72 - a_5 - a_6) = 108 - (a_5+a_6) $. Если среднее$ 8{,}4 $, сумма 84, значит$ a_5+a_6 = 24 $. Посмотрим на шесть наибольших: числа$ a_7,a_8,a_9,a_{10} $больше$ a_6 $хотя бы на$ 1,2,3,4 $, поэтому$ 72 = a_5+a_6+(a_7+\dots+a_{10}) \ge (a_5+a_6) + (4a_6 + 10) $. При$ a_5+a_6=24 $имеем$ a_6>12 $, значит$ a_6\ge 13 $, и правая часть не меньше$ 24 + 4\cdot 13 + 10 = 86 > 72 $. Противоречие. Нет.в) Наименьшее среднее отвечает наибольшей сумме$ T=a_5+a_6 $. Из шести наибольших получаем$ 72\ge (a_5+a_6)+4a_6+10 $; подставив$ a_5=T-a_6 $, имеем$ T+4a_6\le 62 $, откуда$ a_6\le \dfrac{62-T}{4} $. С другой стороны$ a_6>\dfrac{T}{2} $(ведь$ a_5

Ответ

а) Нет; б) Нет; в)

8{,}9