Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022427

Отсортируем: $a_1&lt;\dots</p><p><b>а)</b> Может ли наименьшее быть 3? Тогда шесть наименьших различных не меньше чем$3,4,5,6,7,8$, в сумме$33>30$. Но нужна сумма 30. Нет.</p><p><b>б)</b> Может ли среднее всех десяти равняться 11? Сумма всех равна$30 + (90 - a_5 - a_6) = 120 - (a_5+a_6)$. Если среднее 11, сумма 110, значит$a_5+a_6 = 10$. Но$a_5$— пятое по возрастанию, поэтому$a_5\ge 5$, а$a_6>a_5$, значит$a_5+a_6\ge 5+6 = 11 > 10$. Противоречие. Нет.</p><p><b>в)</b> Наибольшее среднее отвечает наименьшему$a_5+a_6$. Покажем, что$a_5+a_6\ge 15$. Если бы$a_5+a_6\le 14$, то на$a_1,\dots,a_4$(четыре различных числа, меньших$a_5$) осталось бы не меньше$30-14=16$, но четыре различных натуральных, меньших$a_5\le 6$, дают максимум$2+3+4+5=14<16$— не хватает. А значение 15 достижимо: набор$1,3,5,6,7,8$даёт шесть наименьших с суммой 30 и$a_5+a_6 = 7+8 = 15$. При этом шесть наибольших можно взять как$7,8,9,10,11,45$(сумма 90). Тогда среднее всех десяти равно$\dfrac{120 - 15}{10} = 10{,}5$. Наибольшее среднее —$10{,}5$.