Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022424

а) Возьмём школу №1: пусть в ней $n$ учеников, средний балл 18, сумма $18n$. Ушёл ученик с баллом $x$, и средний вырос на 10%, стал $18\cdot 1{,}1 = 19{,}8$. Осталось $n-1$ учеников с суммой $18n-x$. Уравнение: $\dfrac{18n-x}{n-1}=19{,}8$. Отсюда $18n - x = 19{,}8n - 19{,}8$, то есть $x = 19{,}8 - 1{,}8n = \dfrac{9(11-n)}{5}$. Балл $x$ натуральный, поэтому $11-n$ делится на 5 и положительно: подходит $11-n=5$, то есть $n=6$ (и $x=9$). В школе №1 изначально было 6 учеников.

б) Перешедший ученик набрал 9 баллов. В школе №1 было 6 учеников с суммой $18\cdot 6 = 108$, и все с разными баллами. Один из них — тот самый ученик с 9 баллами. Чтобы кто-то набрал максимум, остальные пятеро пусть возьмут наименьшие возможные различные натуральные баллы, среди которых обязательно есть 9: это $1,2,3,4$ и $9$, в сумме $19$. Тогда максимум равен $108 - 19 = 89$. Проверим: числа $1,2,3,4,9,89$ различны, их сумма 108 — всё сходится.

в) Теперь школа №2. Пусть изначально в ней $m$ учеников (по условию $m>10$) со средним $b$ (целым), сумма $bm$. Пришёл ученик с 9 баллами, стало $m+1$ учеников, средний вырос на 10% до $1{,}1b$. Уравнение: $\dfrac{bm+9}{m+1}=1{,}1b$. Раскрываем: $bm+9 = 1{,}1bm + 1{,}1b$, то есть $9 = 0{,}1bm + 1{,}1b = \dfrac{b(m+11)}{10}$, откуда $b(m+11)=90$. Нам нужно наименьшее $m>10$, поэтому $m+11\ge 22$ и должно делить 90. Делители 90, не меньшие 22, — это 30, 45 и 90. Наименьшее $m$ даёт $m+11=30$, то есть $m=19$ (тогда $b=3$). Проверим: 19 учеников со средним 3 (сумма 57), пришёл ученик с 9, стало 20 учеников с суммой 66, средний $\dfrac{66}{20} = 3{,}3 = 3\cdot 1{,}1$ — всё сходится. Наименьшее число учеников школы №2 равно 19.