а) Возьмём школу №1: пусть в ней n учеников, средний балл 18, сумма 18n. Ушёл ученик с баллом x, и средний вырос на 10%, стал 18\cdot 1{,}1 = 19{,}8. Осталось n-1 учеников с суммой 18n-x. Уравнение: \dfrac{18n-x}{n-1}=19{,}8. Отсюда 18n - x = 19{,}8n - 19{,}8, то есть x = 19{,}8 - 1{,}8n = \dfrac{9(11-n)}{5}. Балл x натуральный, поэтому 11-n делится на 5 и положительно: подходит 11-n=5, то есть n=6 (и x=9). В школе №1 изначально было 6 учеников.

б) Перешедший ученик набрал 9 баллов. В школе №1 было 6 учеников с суммой 18\cdot 6 = 108, и все с разными баллами. Один из них — тот самый ученик с 9 баллами. Чтобы кто-то набрал максимум, остальные пятеро пусть возьмут наименьшие возможные различные натуральные баллы, среди которых обязательно есть 9: это 1,2,3,4 и 9, в сумме 19. Тогда максимум равен 108 - 19 = 89. Проверим: числа 1,2,3,4,9,89 различны, их сумма 108 — всё сходится.

в) Теперь школа №2. Пусть изначально в ней m учеников (по условию m>10) со средним b (целым), сумма bm. Пришёл ученик с 9 баллами, стало m+1 учеников, средний вырос на 10% до 1{,}1b. Уравнение: \dfrac{bm+9}{m+1}=1{,}1b. Раскрываем: bm+9 = 1{,}1bm + 1{,}1b, то есть 9 = 0{,}1bm + 1{,}1b = \dfrac{b(m+11)}{10}, откуда b(m+11)=90. Нам нужно наименьшее m>10, поэтому m+11\ge 22 и должно делить 90. Делители 90, не меньшие 22, — это 30, 45 и 90. Наименьшее m даёт m+11=30, то есть m=19 (тогда b=3). Проверим: 19 учеников со средним 3 (сумма 57), пришёл ученик с 9, стало 20 учеников с суммой 66, средний \dfrac{66}{20} = 3{,}3 = 3\cdot 1{,}1 — всё сходится. Наименьшее число учеников школы №2 равно 19.