ID: 00022422
Источник: ФИПИ
Обозначим в школе №1 число писавших $n_1$, средний балл $a$ (целый), в школе №2 — $n_2$ и средний балл $b$ (целый); при этом $n_1+n_2=51$ и в каждой школе не меньше двух человек. Один ученик с баллом $x$ переходит из школы №1 в школу №2.
а) Может ли средний в №1 вырасти вдвое? После перехода средний балл в №1 равен $\dfrac{a n_1-x}{n_1-1}$. Приравняем его к $2a$: $a n_1-x=2a(n_1-1)$, откуда $x=a(2-n_1)$. Но $n_1\ge2$, поэтому $2-n_1\le0$ и $x\le0$, а балл — натуральное число. Противоречие: удвоить средний балл нельзя.
б) Пусть оба средних выросли на $10\%$, то есть новый средний в №1 равен $1{,}1a$, в №2 — $1{,}1b$, и пусть $b=1$. Средний балл $1$ при натуральных баллах означает, что все в №2 набрали ровно по $1$. После прихода ученика $\dfrac{n_2+x}{n_2+1}=1{,}1$, откуда $x=\dfrac{n_2+11}{10}$ — целым он будет лишь при $n_2\equiv9\pmod{10}$. Из условия для №1 получаем $x=\dfrac{a(11-n_1)}{10}$, а это требует $n_1\le10$, то есть $n_2\ge41$; вместе с $n_2\equiv9\pmod{10}$ остаётся только $n_2=49$, $n_1=2$. Тогда из №2 находим $x=6$, а из №1 — $x=\dfrac{9a}{10}$, значит $\dfrac{9a}{10}=6$ и $a=\dfrac{20}{3}$ — не целое. Противоречие: первоначальный средний в №2 не может равняться $1$.
в) Пусть оба средних выросли на $10\%$. Из школы №1 получаем $x=\dfrac{a(n_1+9)}{10}$, из школы №2 — $x=\dfrac{b(n_2+11)}{10}$, причём $n_2=51-n_1$. Приравняв, получаем $b(62-n_1)=a(11-n_1)$, откуда $a=\dfrac{b(62-n_1)}{11-n_1}$ (при этом $n_1\le10$). Перебирая $n_1$, ищем наименьшее целое $b$, при котором и $a$, и $x$ целые. При $b=1$ и $b=2$ целого решения нет, а при $b=3$ подходит $n_1=2$, $a=20$, $x=18$: в №1 два ученика с баллами $18$ и $22$ (средний $20$), уходит ученик с $18$, остаётся $22=1{,}1\cdot20$; в №2 сорок девять учеников со средним $3$ (сумма $147$), после прихода $\dfrac{147+18}{50}=3{,}3=1{,}1\cdot3$. Всё сходится, поэтому наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 — $3$.