Обозначим в школе №1 число писавших n_1, средний балл a (целый), в школе №2 — n_2 и средний балл b (целый); при этом n_1+n_2=51 и в каждой школе не меньше двух человек. Один ученик с баллом x переходит из школы №1 в школу №2.

а) Может ли средний в №1 вырасти вдвое? После перехода средний балл в №1 равен \dfrac{a n_1-x}{n_1-1}. Приравняем его к 2a: a n_1-x=2a(n_1-1), откуда x=a(2-n_1). Но n_1\ge2, поэтому 2-n_1\le0 и x\le0, а балл — натуральное число. Противоречие: удвоить средний балл нельзя.

б) Пусть оба средних выросли на 10\%, то есть новый средний в №1 равен 1{,}1a, в №2 — 1{,}1b, и пусть b=1. Средний балл 1 при натуральных баллах означает, что все в №2 набрали ровно по 1. После прихода ученика \dfrac{n_2+x}{n_2+1}=1{,}1, откуда x=\dfrac{n_2+11}{10} — целым он будет лишь при n_2\equiv9\pmod{10}. Из условия для №1 получаем x=\dfrac{a(11-n_1)}{10}, а это требует n_1\le10, то есть n_2\ge41; вместе с n_2\equiv9\pmod{10} остаётся только n_2=49, n_1=2. Тогда из №2 находим x=6, а из №1 — x=\dfrac{9a}{10}, значит \dfrac{9a}{10}=6 и a=\dfrac{20}{3} — не целое. Противоречие: первоначальный средний в №2 не может равняться 1.

в) Пусть оба средних выросли на 10\%. Из школы №1 получаем x=\dfrac{a(n_1+9)}{10}, из школы №2 — x=\dfrac{b(n_2+11)}{10}, причём n_2=51-n_1. Приравняв, получаем b(62-n_1)=a(11-n_1), откуда a=\dfrac{b(62-n_1)}{11-n_1} (при этом n_1\le10). Перебирая n_1, ищем наименьшее целое b, при котором и a, и x целые. При b=1 и b=2 целого решения нет, а при b=3 подходит n_1=2, a=20, x=18: в №1 два ученика с баллами 18 и 22 (средний 20), уходит ученик с 18, остаётся 22=1{,}1\cdot20; в №2 сорок девять учеников со средним 3 (сумма 147), после прихода \dfrac{147+18}{50}=3{,}3=1{,}1\cdot3. Всё сходится, поэтому наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 — 3.