Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022421

а) Нужно представить $2043$ суммой двух различных чисел с равными суммами цифр. Возьмём $1017$ и $1026$: у обоих сумма цифр одинаковая — $1+0+1+7=9$ и $1+0+2+6=9$, числа различны, а $1017+1026=2043$. Значит да.

б) Пусть $599=x+y$, и суммы цифр $x$ и $y$ равны. Сложим $x$ и $y$ столбиком. В разряде единиц две цифры дают в сумме не больше $9+9=18$, а нужна последняя цифра $9$ — значит сумма единиц ровно $9$, и переноса нет. Точно так же в разряде десятков сумма цифр равна $9$ без переноса, а в сотнях — $5$. Переносов нет вообще, поэтому сумма цифр числа $x$ и сумма цифр числа $y$ вместе дают сумму цифр числа $599$, то есть $5+9+9=23$. Если бы эти суммы были равны, каждая равнялась бы $23/2=11{,}5$ — не целое число. Значит представить $599$ так нельзя.

в) Ищем наименьшее число, равное сумме семи различных чисел с одинаковой суммой цифр $s$. Чтобы итог был маленьким, нужны семь небольших чисел с одной и той же суммой цифр. При $s=6$ таких маленьких чисел ровно семь: $6,15,24,33,42,51,60$ (у всех сумма цифр $6$), и их сумма $6+15+24+33+42+51+60=231$. При меньших $s$ двузначных чисел с нужной суммой цифр не хватает, и седьмым приходится брать трёхзначное — итог выходит больше (например, при $s=5$ уже $269$); при $s=7$ получаем $238$. Поэтому наименьшее такое число — $231$.