На доске — различные числа только из цифр 1 и 6: 1,6,11,16,61,66,111,\ldots

а) Нужна сумма 173: возьмём 166+6+1=173. Все числа состоят из цифр 1 и 6, различны, сумма верная — значит да.

б) И 1, и 6 дают при делении на 5 остаток 1, поэтому каждое наше число даёт остаток 1 по модулю 5 (его задаёт последняя цифра). Сумма n чисел даёт остаток n. У числа 109 остаток 4, значит n\equiv4\pmod5: чисел 4,9,14,\ldots Но четыре различных числа, не превосходящих 109, выбираются из 1,6,11,16,61,66; чтобы их сумма равнялась 109, два оставшихся должны в сумме давать 161-109=52, а такой пары среди этих чисел нет. Девять же различных чисел дают в сумме минимум 1+6+11+16+61+66+111+116+161=549>109. Значит 109 собрать нельзя.

в) Сумма 1021. Четырёхзначные начинаются с 1111>1021, поэтому берём числа не длиннее трёхзначных. Каждое даёт остаток 1 по модулю 5, значит сумма n чисел — остаток n; у 1021 остаток 1, поэтому n\equiv1\pmod5: количество 1,6,11,\ldots Одного числа 1021 из цифр 1 и 6 нет. Шесть чисел подобрать можно: 666+161+116+61+16+1=1021. Значит наименьшее количество — 6.