Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022420

На доске — различные числа только из цифр $1$ и $6$: $1,6,11,16,61,66,111,\ldots$

а) Нужна сумма $173$: возьмём $166+6+1=173$. Все числа состоят из цифр $1$ и $6$, различны, сумма верная — значит да.

б) И $1$, и $6$ дают при делении на $5$ остаток $1$, поэтому каждое наше число даёт остаток $1$ по модулю $5$ (его задаёт последняя цифра). Сумма $n$ чисел даёт остаток $n$. У числа $109$ остаток $4$, значит $n\equiv4\pmod5$: чисел $4,9,14,\ldots$ Но четыре различных числа, не превосходящих $109$, выбираются из $1,6,11,16,61,66$; чтобы их сумма равнялась $109$, два оставшихся должны в сумме давать $161-109=52$, а такой пары среди этих чисел нет. Девять же различных чисел дают в сумме минимум $1+6+11+16+61+66+111+116+161=549>109$. Значит $109$ собрать нельзя.

в) Сумма $1021$. Четырёхзначные начинаются с $1111>1021$, поэтому берём числа не длиннее трёхзначных. Каждое даёт остаток $1$ по модулю $5$, значит сумма $n$ чисел — остаток $n$; у $1021$ остаток $1$, поэтому $n\equiv1\pmod5$: количество $1,6,11,\ldots$ Одного числа $1021$ из цифр $1$ и $6$ нет. Шесть чисел подобрать можно: $666+161+116+61+16+1=1021$. Значит наименьшее количество — $6$.