Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022419

Как и раньше, из трёхзначного $A$ вычёркиванием одной цифры получают двузначные $B$ и $C$, и нужно $A=B\cdot C$.

а) Пусть $A>140$. Возьмём $A=150$: вычеркнем ноль — останется $15$, вычеркнем пятёрку — останется $10$, и $15\cdot10=150$, причём $150>140$. Значит да.

б) Пусть $440\le A<500$, тогда $A=\overline{4yz}$: старшая цифра $4$, а $y\ge4$ (ведь $A\ge440$). Все двузначные, которые можно вычеркнуть, не меньше $40$: это $\overline{4y}=40+y\ge44$, $\overline{4z}=40+z\ge40$ и $\overline{yz}=10y+z\ge40$. Произведение двух чисел, каждое из которых не меньше $40$, не меньше $40\cdot40=1600$, а это далеко больше $500$. Значит равенство $A=B\cdot C$ при $440\le A<500$ невозможно.

в) Нужно самое большое $A$, меньшее $900$. Возьмём старшую цифру $8$, $A=\overline{8yz}$. Кандидаты: $10y+z$, $80+z$ и $80+y$. Оба «больших» перемножать нельзя — выйдет за тысячи, поэтому один множитель — $10y+z$. Уравнение $(80+y)(10y+z)=800+10y+z$ при $y=1$ даёт $z=0$, то есть $A=810=81\cdot10$; при $y\ge2$ левая часть переваливает за $900$. Прочие сочетания либо велики, либо без целых решений. Значит наибольшее $A$, меньшее $900$, равно $810$ (проверка: вычеркнув $0$, получим $81$, вычеркнув $8$ — $10$, и $81\cdot10=810$).