Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022418

Сумма всех семи цифр равна $0+1+2+3+5+7+9=27$. Мы делим их на четырёхзначное и трёхзначное числа, и оба должны делиться на $45=9\cdot5$.

Делимость на $9$ означает, что сумма цифр каждого числа кратна $9$. У четырёхзначного и трёхзначного суммы цифр вместе дают $27$, поэтому подходит разбиение $9$ и $18$ (в каком-то порядке). Делимость на $5$ означает, что число оканчивается на $0$ или $5$; ноль и пятёрка у нас по одной, поэтому одно число кончается на $0$, а другое — на $5$.

а) Проверим сумму $2205$. Возьмём трёхзначное $270$ и четырёхзначное $1935$. Оба делятся на $45$: $270=45\cdot6$ и $1935=45\cdot43$. Все цифры $0,1,2,3,5,7,9$ использованы по одному разу, а сумма $1935+270=2205$. Значит да, так бывает.

б) Сумма двух чисел, каждое из которых кратно $45$, сама кратна $45$. А $3435$ на $45$ не делится: $45\cdot76=3420$, до $3435$ остаётся ещё $15$. Раз сумма обязана делиться на $45$, а $3435$ этим свойством не обладает, такой пары не существует.

в) Чтобы сумма была как можно больше, тянем вверх прежде всего четырёхзначное число, старшая цифра которого — $9$. Если четырёхзначное кончается на $0$, то лучший вариант — $9720$ (проверка: $9720=45\cdot216$), и тогда трёхзначное складывается из оставшихся $1,3,5$ и должно кончаться на $5$: максимум $315=45\cdot7$. Сумма $9720+315=10\,035$. Больше не выжать: если же четырёхзначное кончается на $5$, оно не больше $9315$, и вместе с трёхзначным $720$ снова получаем ровно $10\,035$. Значит наибольшая возможная сумма равна $10\,035$.