ID: 00022417
Источник: ФИПИ
Сначала поймём, что такое $S$. Ставим два числа с одинаковым числом цифр друг под другом в столбик, перемножаем цифры, оказавшиеся одна над другой, и всё складываем. В примере $A=123$, $B=579$ вышло $1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9=46$.
а) Нужен пример, где $S=100$. Каждое слагаемое — произведение двух цифр, самое большое $9\cdot9=81$. Соберём сотню из трёх кусочков: $81+18+1=100$. Значит первые цифры возьмём $9$ и $9$ (дают $81$), вторые — $9$ и $2$ (дают $18$), третьи — $1$ и $1$ (дают $1$). Получаем $A=991$, $B=921$ и проверяем: $9\cdot9+9\cdot2+1\cdot1=81+18+1=100$. Всё сходится — такие числа есть.
б) А вот $S=400$ для четырёхзначных не выйдет. Здесь ровно четыре слагаемых, и каждое — произведение двух цифр, то есть не больше $9\cdot9=81$. Значит вся сумма не превосходит $4\cdot81=324$. А $324<400$, поэтому дотянуть до $400$ невозможно ни при каких цифрах.
в) Покажем, что любое число от $1$ до $260$ поймать можно, управляя цифрами второго числа при удачно выбранном первом. Маленькие числа от $1$ до $36$ берём так: пусть $A=1111$, тогда $S=b_1+b_2+b_3+b_4$ — просто сумма цифр числа $B$, а её можно сделать любой от $1$ до $36$. Числа от $9$ до $252$ ловим числом $A=9991$: тогда $S=9(b_1+b_2+b_3)+b_4$. Скобка $b_1+b_2+b_3$ пробегает все значения от $1$ до $27$, а $b_4$ — от $0$ до $9$, поэтому при каждом фиксированном значении скобки мы получаем десяток подряд идущих чисел, и эти десятки без разрывов накрывают весь промежуток от $9$ до $252$. Остаются восемь чисел от $253$ до $260$ — их проверяем руками: например, $253=81+81+81+10$ (числа $9992$ и $9995$), $260=81+81+63+35$ (числа $9995$ и $9977$), и точно так же аккуратно собираются $254,255,256,257,258,259$. Значит вместе промежутки $1$–$36$, $9$–$252$ и числа $253$–$260$ накрывают всё от $1$ до $260$ — утверждение верное.