Сначала поймём, что такое S. Ставим два числа с одинаковым числом цифр друг под другом в столбик, перемножаем цифры, оказавшиеся одна над другой, и всё складываем. В примере A=123, B=579 вышло 1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9=46.

а) Нужен пример, где S=100. Каждое слагаемое — произведение двух цифр, самое большое 9\cdot9=81. Соберём сотню из трёх кусочков: 81+18+1=100. Значит первые цифры возьмём 9 и 9 (дают 81), вторые — 9 и 2 (дают 18), третьи — 1 и 1 (дают 1). Получаем A=991, B=921 и проверяем: 9\cdot9+9\cdot2+1\cdot1=81+18+1=100. Всё сходится — такие числа есть.

б) А вот S=400 для четырёхзначных не выйдет. Здесь ровно четыре слагаемых, и каждое — произведение двух цифр, то есть не больше 9\cdot9=81. Значит вся сумма не превосходит 4\cdot81=324. А 324<400, поэтому дотянуть до 400 невозможно ни при каких цифрах.

в) Покажем, что любое число от 1 до 260 поймать можно, управляя цифрами второго числа при удачно выбранном первом. Маленькие числа от 1 до 36 берём так: пусть A=1111, тогда S=b_1+b_2+b_3+b_4 — просто сумма цифр числа B, а её можно сделать любой от 1 до 36. Числа от 9 до 252 ловим числом A=9991: тогда S=9(b_1+b_2+b_3)+b_4. Скобка b_1+b_2+b_3 пробегает все значения от 1 до 27, а b_4 — от 0 до 9, поэтому при каждом фиксированном значении скобки мы получаем десяток подряд идущих чисел, и эти десятки без разрывов накрывают весь промежуток от 9 до 252. Остаются восемь чисел от 253 до 260 — их проверяем руками: например, 253=81+81+81+10 (числа 9992 и 9995), 260=81+81+63+35 (числа 9995 и 9977), и точно так же аккуратно собираются 254,255,256,257,258,259. Значит вместе промежутки 1–36, 9–252 и числа 253–260 накрывают всё от 1 до 260 — утверждение верное.