Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022416

Здесь $S$ — сумма произведений цифр, стоящих на одинаковых местах. Каждое такое произведение — это произведение двух цифр, поэтому оно не больше $9\cdot 9=81$. Это простое наблюдение и решает всю задачу.

а) У трёхзначных чисел три пары цифр, значит $S$ складывается из трёх произведений. Возьмём $A=998$ и $B=887$: $S=9\cdot 8+9\cdot 8+8\cdot 7=72+72+56=200$. Первые цифры не нули, всё в порядке — да, существуют.

б) У четырёхзначных чисел четыре произведения, каждое не больше 81, поэтому $S\le 4\cdot 81=324$ — до 320 совсем близко, всего 4. Но есть тонкость: сразу после $9\cdot 9=81$ у произведений двух цифр идёт лишь $9\cdot 8=72$, а значений от 73 до 80 не бывает. Поэтому каждое произведение либо равно 81, либо не больше 72, то есть «теряет» относительно 81 хотя бы 9. Чтобы из 324 получить 320, надо суммарно потерять ровно 4; но любое произведение, не равное 81, отнимает не меньше 9, а если все четыре равны 81, сумма равна 324, а не 320. Потерять ровно 4 невозможно — значит $S=320$ не бывает, нет.

в) Мы только что видели, что для четырёхзначных чисел $S\le 324$. Поэтому ни одно число от 325 до 340 суммой $S$ быть не может — например, $S=340$ недостижимо. Значит утверждение «любое натуральное число от 1 до 340 является такой суммой» неверно.