Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022415

Возьмём четыре подряд идущих числа, у которых последние цифры не нули. Тогда эти цифры — четыре подряд идущие цифры от 1 до 9 (через ноль перескочить нельзя), поэтому числа не переходят в новый десяток и у всех четырёх одинаковая «часть без последней цифры». Обозначим её $q$, а первую из последних цифр — $d$ (где $d$ от 1 до 6, чтобы $d,d+1,d+2,d+3$ не превзошли 9). Каждое число это $10q+c$, и при делении на свою цифру $\dfrac{10q+c}{c}=\dfrac{10q}{c}+1$. Сложив четыре, получаем формулу $S=4+10q\left(\dfrac1d+\dfrac1{d+1}+\dfrac1{d+2}+\dfrac1{d+3}\right)$. Обозначим скобку через $H(d)$.

а) $16\dfrac{5}{6}=\dfrac{101}{6}$. Подойдут числа $12,13,14,15$ (здесь $q=1$, $d=2$): $\dfrac{12}{2}+\dfrac{13}{3}+\dfrac{14}{4}+\dfrac{15}{5}=6+\dfrac{13}{3}+\dfrac{7}{2}+3=\dfrac{101}{6}=16\dfrac{5}{6}$. Значит да, может.

б) $569\dfrac{29}{126}=\dfrac{71723}{126}$, и нужно $10q\,H(d)=\dfrac{71723}{126}-4=\dfrac{71219}{126}$. В знаменателе $126=2\cdot 3^2\cdot 7$ есть семёрка, а у $H(d)$ семёрка в знаменателе появляется только когда среди цифр $d,\ldots,d+3$ есть 7, то есть при $d=4,5,6$ (при $d=1,2,3$ знаменатели $12,60,20$ вовсе без семёрки — такой дроби не получить). Остаётся проверить три случая, и в каждом $q$ выходит нецелым: при $d=4$ нужно $q=\dfrac{71219}{3\cdot 319}$, при $d=5$ — $q=\dfrac{2\cdot 71219}{3\cdot 533}$, при $d=6$ — $q=\dfrac{2\cdot 71219}{1375}$; ни одно не целое. Значит такого $S$ не бывает — нет.

в) У трёхзначных чисел $q$ от 10 до 99, и $S=4+10q\,H(d)$, причём $H(d)$ тем больше, чем меньше $d$. Но $S$ должно быть целым, значит $10q\,H(d)$ обязано быть целым — это и ограничивает $q$. Самый выгодный случай $d=1$: тогда $H(1)=\dfrac{25}{12}$ и $S=4+\dfrac{125q}{6}$ цело лишь при $q$, кратном 6; наибольшее такое $q\le 99$ — это $q=96$. Числа получаются $961,962,963,964$, а $S=4+\dfrac{125\cdot 96}{6}=4+2000=2004$. Проверим напрямую: $\dfrac{961}{1}+\dfrac{962}{2}+\dfrac{963}{3}+\dfrac{964}{4}=961+481+321+241=2004$. Прочие $d$ дают меньше (лучший при $d=2$ равен всего 1236), поэтому наибольшее целое $S$ равно 2004.