Возьмём четыре подряд идущих числа, у которых последние цифры не нули. Тогда эти цифры — четыре подряд идущие цифры от 1 до 9 (через ноль перескочить нельзя), поэтому числа не переходят в новый десяток и у всех четырёх одинаковая «часть без последней цифры». Обозначим её q, а первую из последних цифр — d (где d от 1 до 6, чтобы d,d+1,d+2,d+3 не превзошли 9). Каждое число это 10q+c, и при делении на свою цифру \dfrac{10q+c}{c}=\dfrac{10q}{c}+1. Сложив четыре, получаем формулу S=4+10q\left(\dfrac1d+\dfrac1{d+1}+\dfrac1{d+2}+\dfrac1{d+3}\right). Обозначим скобку через H(d).

а) 16\dfrac{5}{6}=\dfrac{101}{6}. Подойдут числа 12,13,14,15 (здесь q=1, d=2): \dfrac{12}{2}+\dfrac{13}{3}+\dfrac{14}{4}+\dfrac{15}{5}=6+\dfrac{13}{3}+\dfrac{7}{2}+3=\dfrac{101}{6}=16\dfrac{5}{6}. Значит да, может.

б) 569\dfrac{29}{126}=\dfrac{71723}{126}, и нужно 10q\,H(d)=\dfrac{71723}{126}-4=\dfrac{71219}{126}. В знаменателе 126=2\cdot 3^2\cdot 7 есть семёрка, а у H(d) семёрка в знаменателе появляется только когда среди цифр d,\ldots,d+3 есть 7, то есть при d=4,5,6 (при d=1,2,3 знаменатели 12,60,20 вовсе без семёрки — такой дроби не получить). Остаётся проверить три случая, и в каждом q выходит нецелым: при d=4 нужно q=\dfrac{71219}{3\cdot 319}, при d=5 — q=\dfrac{2\cdot 71219}{3\cdot 533}, при d=6 — q=\dfrac{2\cdot 71219}{1375}; ни одно не целое. Значит такого S не бывает — нет.

в) У трёхзначных чисел q от 10 до 99, и S=4+10q\,H(d), причём H(d) тем больше, чем меньше d. Но S должно быть целым, значит 10q\,H(d) обязано быть целым — это и ограничивает q. Самый выгодный случай d=1: тогда H(1)=\dfrac{25}{12} и S=4+\dfrac{125q}{6} цело лишь при q, кратном 6; наибольшее такое q\le 99 — это q=96. Числа получаются 961,962,963,964, а S=4+\dfrac{125\cdot 96}{6}=4+2000=2004. Проверим напрямую: \dfrac{961}{1}+\dfrac{962}{2}+\dfrac{963}{3}+\dfrac{964}{4}=961+481+321+241=2004. Прочие d дают меньше (лучший при d=2 равен всего 1236), поэтому наибольшее целое S равно 2004.