Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022414

Числа разбили на три непустые группы. К первой приписали справа цифру 6 ($n\to 10n+6$), ко второй — цифру 9 ($n\to 10n+9$), третью оставили как есть. Пусть суммы групп $S_1,S_2,S_3$, количества $k_1,k_2$. Старая сумма $S=S_1+S_2+S_3$, новая $=10S_1+6k_1+10S_2+9k_2+S_3$.

а) Хотим рост в 9 раз. В первую группу возьмём число $1$ ($\to 16$), во вторую — число $8$ ($\to 89$), в третью — число $3$ (не меняется). Была сумма $1+8+3=12$, стала $16+89+3=108=9\cdot 12$. Ровно в 9 раз — да, могла.

б) Число из второй группы растёт в $\dfrac{10n+9}{n}=10+\dfrac{9}{n}\le 19$ раз (максимум 19 при $n=1$), из первой — в $10+\dfrac{6}{n}\le 16$ раз, третья группа не растёт. Значит вся сумма растёт не больше чем в 19 раз, и ровно в 19 — лишь если бы каждое число росло в 19 раз. Но неизменное число третьей группы имеет множитель 1, поэтому строго меньше. В 19 раз не могла — нет.

в) Ищем наибольший множитель. Третью группу делаем самой лёгкой — одно число $1$. Если в первых двух группах числа дают сумму $P$, то отношение новой суммы к старой равно $\dfrac{10P+6k_1+9k_2+1}{P+1}=10+\dfrac{6k_1+9k_2-9}{P+1}$. Прибавка $9$ за число второй группы выгоднее прибавки $6$ за число первой, поэтому в первую группу отдаём одно число, остальные малые — во вторую. Максимум получаем на числах $\{1;2;3;4;5\}$: число $1$ — в третью группу, число $2$ — в первую (станет $26$), числа $3,4,5$ — во вторую (станут $39,49,59$). Тогда старая сумма $1+2+3+4+5=15$, новая $=1+26+(39+49+59)=1+26+147=174$, а отношение $\dfrac{174}{15}=\dfrac{58}{5}=11{,}6$. Больше не выходит — наибольший рост суммы равен $11{,}6$ раза.