Числа разбили на три непустые группы. К первой приписали справа цифру 6 (n\to 10n+6), ко второй — цифру 9 (n\to 10n+9), третью оставили как есть. Пусть суммы групп S_1,S_2,S_3, количества k_1,k_2. Старая сумма S=S_1+S_2+S_3, новая =10S_1+6k_1+10S_2+9k_2+S_3.

а) Хотим рост в 9 раз. В первую группу возьмём число 1 (\to 16), во вторую — число 8 (\to 89), в третью — число 3 (не меняется). Была сумма 1+8+3=12, стала 16+89+3=108=9\cdot 12. Ровно в 9 раз — да, могла.

б) Число из второй группы растёт в \dfrac{10n+9}{n}=10+\dfrac{9}{n}\le 19 раз (максимум 19 при n=1), из первой — в 10+\dfrac{6}{n}\le 16 раз, третья группа не растёт. Значит вся сумма растёт не больше чем в 19 раз, и ровно в 19 — лишь если бы каждое число росло в 19 раз. Но неизменное число третьей группы имеет множитель 1, поэтому строго меньше. В 19 раз не могла — нет.

в) Ищем наибольший множитель. Третью группу делаем самой лёгкой — одно число 1. Если в первых двух группах числа дают сумму P, то отношение новой суммы к старой равно \dfrac{10P+6k_1+9k_2+1}{P+1}=10+\dfrac{6k_1+9k_2-9}{P+1}. Прибавка 9 за число второй группы выгоднее прибавки 6 за число первой, поэтому в первую группу отдаём одно число, остальные малые — во вторую. Максимум получаем на числах \{1;2;3;4;5\}: число 1 — в третью группу, число 2 — в первую (станет 26), числа 3,4,5 — во вторую (станут 39,49,59). Тогда старая сумма 1+2+3+4+5=15, новая =1+26+(39+49+59)=1+26+147=174, а отношение \dfrac{174}{15}=\dfrac{58}{5}=11{,}6. Больше не выходит — наибольший рост суммы равен 11{,}6 раза.