30 разных натуральных чисел, каждое либо чётное, либо оканчивается на 7 (а такое число нечётно). Пусть m чисел оканчиваются на 7, тогда чётных — 30-m, а сумма равна 810. Сразу отметим про чётность: сумма чётных чисел чётна, а сумма m нечётных чисел (оканчивающихся на 7) имеет чётность самого m. Раз общая сумма 810 чётна, то m обязано быть чётным — это пригодится.

а) «Ровно 24 чётных» значит m=6 чисел на 7 (m чётное — с чётностью порядок). Проверим по сумме: 24 наименьших чётных дают 2+4+\cdots+48=600, шесть наименьших чисел на 7 дают 7+17+27+37+47+57=192, вместе 792\le 810. До 810 не хватает 18 — увеличим самое большое чётное 48 до 66 (осталось чётным, всё различно), сумма станет ровно 810. Значит да, 24 чётных возможны.

б) «Ровно два оканчиваются на 7» значит чётных 28. Но 28 различных чётных чисел — это не меньше 2+4+\cdots+56=812, а это уже больше 810 даже без двух чисел на 7. Невозможно — нет.

в) Ищем наименьшее m; мы знаем, что m чётно, так что кандидаты 0,2,4,\ldots Возьмём наименьшую сумму при данном m: чётных 30-m штук дают 2+4+\cdots+2(30-m)=(30-m)(31-m), а оканчивающихся на 7 — 7+17+\cdots=5m^2+2m. При m=0 сумма не меньше 30\cdot 31=930; при m=2 — 28\cdot 29+24=836; оба больше 810. При m=4: 26\cdot 27+(5\cdot 16+8)=702+88=790\le 810 — уже помещается, разницу 810-790=20 добираем, увеличив самое большое чётное на 20. Значит наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, равно 4.