Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022411

30 разных натуральных чисел, каждое либо чётное, либо оканчивается на 7 (а такое число нечётно). Пусть $m$ чисел оканчиваются на 7, тогда чётных — $30-m$, а сумма равна 810. Сразу отметим про чётность: сумма чётных чисел чётна, а сумма $m$ нечётных чисел (оканчивающихся на 7) имеет чётность самого $m$. Раз общая сумма 810 чётна, то $m$ обязано быть чётным — это пригодится.

а) «Ровно 24 чётных» значит $m=6$ чисел на 7 ($m$ чётное — с чётностью порядок). Проверим по сумме: 24 наименьших чётных дают $2+4+\cdots+48=600$, шесть наименьших чисел на 7 дают $7+17+27+37+47+57=192$, вместе $792\le 810$. До 810 не хватает $18$ — увеличим самое большое чётное $48$ до $66$ (осталось чётным, всё различно), сумма станет ровно 810. Значит да, 24 чётных возможны.

б) «Ровно два оканчиваются на 7» значит чётных $28$. Но 28 различных чётных чисел — это не меньше $2+4+\cdots+56=812$, а это уже больше 810 даже без двух чисел на 7. Невозможно — нет.

в) Ищем наименьшее $m$; мы знаем, что $m$ чётно, так что кандидаты $0,2,4,\ldots$ Возьмём наименьшую сумму при данном $m$: чётных $30-m$ штук дают $2+4+\cdots+2(30-m)=(30-m)(31-m)$, а оканчивающихся на 7 — $7+17+\cdots=5m^2+2m$. При $m=0$ сумма не меньше $30\cdot 31=930$; при $m=2$ — $28\cdot 29+24=836$; оба больше 810. При $m=4$: $26\cdot 27+(5\cdot 16+8)=702+88=790\le 810$ — уже помещается, разницу $810-790=20$ добираем, увеличив самое большое чётное на 20. Значит наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, равно 4.