ID: 00022410
Источник: ФИПИ
В коробках $101$, $102$, $103$ и $0$, всего $101+102+103+0=306$ — за ход три камня уходят и три приходят, поэтому сумма постоянна. Найдём инвариант. При ходе одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по 1. Посмотрим на остатки по модулю 4: прибавить 3 — это то же, что отнять 1 (ведь $3\equiv -1\ (\bmod\ 4)$). Значит при любом ходе КАЖДАЯ из четырёх коробок меняет свой остаток по модулю 4 на $-1$. Отсюда все попарные разности количеств по модулю 4 не меняются.
а) Хотим $(97;102;103;4)$. Сумма $97+102+103+4=306$ — сходится. Остатки: было $(101;102;103;0)\equiv(1;2;3;0)$, стало $(97;102;103;4)\equiv(1;2;3;0)$ — совпали, препятствий нет. Построим ходы. Дважды «кладём в четвёртую» (берём из 1, 2, 3): $(101;102;103;0)\to(100;101;102;3)\to(99;100;101;6)$. Ход «кладём во вторую» (берём из 1, 3, 4): $(99;100;101;6)\to(98;103;100;5)$. Ход «кладём в третью» (берём из 1, 2, 4): $(98;103;100;5)\to(97;102;103;4)$. Все числа по пути неотрицательны — да, могло.
б) Хотим 306 камней в четвёртой коробке, то есть набор $(0;0;0;306)$. После $k$ ходов первые три коробки имеют остатки $1-k$, $2-k$, $3-k$ по модулю 4. Чтобы все три стали нулями одновременно, нужно, чтобы $1-k$, $2-k$ и $3-k$ разом делились на 4 — но это три разных остатка, вместе нулём они не станут никогда. Значит $(0;0;0;306)$ недостижимо, 306 камней в четвёртой коробке быть не может.
в) Всего 306 камней. Чтобы в первой было как можно больше, в трёх остальных вместе — как можно меньше. После $k$ ходов остатки коробок по модулю 4 равны $(1-k;\,2-k;\,3-k;\,-k)$ — это все четыре разных остатка $0,1,2,3$ в каком-то порядке. Значит у второй, третьей и четвёртой коробок три разных остатка, а первой достаётся четвёртый. Наименьшее неотрицательное число с данным остатком — сам остаток. Чтобы три коробки в сумме дали минимум, пусть их остатки будут $0,1,2$ (сумма $3$), а первой останется остаток $3$. Так подберём $k\equiv 2\ (\bmod\ 4)$: тогда вторая $\equiv 0$, третья $\equiv 1$, четвёртая $\equiv 2$, их минимум $0+1+2=3$, а первая $=306-3=303$ (и $303\equiv 3$ — как надо). Набор $(303;0;1;2)$ подходит по остаткам и сумме, поэтому наибольшее число камней в первой коробке — 303.