В коробках 101, 102, 103 и 0, всего 101+102+103+0=306 — за ход три камня уходят и три приходят, поэтому сумма постоянна. Найдём инвариант. При ходе одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по 1. Посмотрим на остатки по модулю 4: прибавить 3 — это то же, что отнять 1 (ведь 3\equiv -1\ (\bmod\ 4)). Значит при любом ходе КАЖДАЯ из четырёх коробок меняет свой остаток по модулю 4 на -1. Отсюда все попарные разности количеств по модулю 4 не меняются.

а) Хотим (97;102;103;4). Сумма 97+102+103+4=306 — сходится. Остатки: было (101;102;103;0)\equiv(1;2;3;0), стало (97;102;103;4)\equiv(1;2;3;0) — совпали, препятствий нет. Построим ходы. Дважды «кладём в четвёртую» (берём из 1, 2, 3): (101;102;103;0)\to(100;101;102;3)\to(99;100;101;6). Ход «кладём во вторую» (берём из 1, 3, 4): (99;100;101;6)\to(98;103;100;5). Ход «кладём в третью» (берём из 1, 2, 4): (98;103;100;5)\to(97;102;103;4). Все числа по пути неотрицательны — да, могло.

б) Хотим 306 камней в четвёртой коробке, то есть набор (0;0;0;306). После k ходов первые три коробки имеют остатки 1-k, 2-k, 3-k по модулю 4. Чтобы все три стали нулями одновременно, нужно, чтобы 1-k, 2-k и 3-k разом делились на 4 — но это три разных остатка, вместе нулём они не станут никогда. Значит (0;0;0;306) недостижимо, 306 камней в четвёртой коробке быть не может.

в) Всего 306 камней. Чтобы в первой было как можно больше, в трёх остальных вместе — как можно меньше. После k ходов остатки коробок по модулю 4 равны (1-k;\,2-k;\,3-k;\,-k) — это все четыре разных остатка 0,1,2,3 в каком-то порядке. Значит у второй, третьей и четвёртой коробок три разных остатка, а первой достаётся четвёртый. Наименьшее неотрицательное число с данным остатком — сам остаток. Чтобы три коробки в сумме дали минимум, пусть их остатки будут 0,1,2 (сумма 3), а первой останется остаток 3. Так подберём k\equiv 2\ (\bmod\ 4): тогда вторая \equiv 0, третья \equiv 1, четвёртая \equiv 2, их минимум 0+1+2=3, а первая =306-3=303 (и 303\equiv 3 — как надо). Набор (303;0;1;2) подходит по остаткам и сумме, поэтому наибольшее число камней в первой коробке — 303.