Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022409

В коробках $64$, $77$ и $0$ камней, всего $64+77+0=141$ — и это число не меняется никогда: за ход два камня уходят из двух коробок и ровно два приходят в третью. Нужен инвариант. Посмотрим на остатки количеств по модулю 3. При ходе две коробки теряют по 1, а третья прибавляет 2, поэтому разность двух «отдающих» коробок не меняется, а разность «отдающей» и «принимающей» меняется на 3. Значит все попарные разности количеств по модулю 3 сохраняются.

а) Хотим $(64;59;18)$. Сумма $64+59+18=141$ — сходится. Остатки по модулю 3: было $(64;77;0)\equiv(1;2;0)$, стало $(64;59;18)\equiv(1;2;0)$ (ведь $59=57+2$, $18=18$) — те же самые, инвариант не нарушен. Построим ходы явно. Сделаем 12 ходов «камни идут в третью коробку» (берём из первой и второй по одному): $(64;77;0)\to(52;65;24)$. Затем 6 ходов «камни идут в первую» (берём из второй и третьей по одному): $(52;65;24)\to(64;59;18)$. По дороге все числа неотрицательны, значит да, могло.

б) Хотим 141 камень в третьей коробке. Тогда в первой и второй — по 0, то есть набор $(0;0;141)$. Но разность первых двух коробок по модулю 3 обязана оставаться прежней: вначале $64-77=-13\equiv 2\ (\bmod\ 3)$. А у $(0;0;141)$ разность первых двух равна 0, это остаток 0, а не 2. Противоречие — 141 камень в третьей коробке оказаться не мог.

в) Всего 141 камень, в первой оказался 1, значит во второй и третьей вместе $140$. Чтобы в третьей было побольше, во второй нужно поменьше. Но разность первой и второй коробок по модулю 3 неизменна и равна 2. Пусть во второй $x$ камней; тогда $1-x\equiv 2\ (\bmod\ 3)$, откуда $x\equiv -1\equiv 2\ (\bmod\ 3)$. Значит во второй коробке остаток 2 — там не может быть 0 или 1, наименьшее подходящее число это 2. Тогда в третьей $140-2=138$. Набор $(1;2;138)$ достижим (сумма 141, остатки $(1;2;0)$ совпадают с начальными), поэтому наибольшее число камней в третьей коробке — 138.