Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022408

а) Ищем пару $(a;b)$, из которой выходит $(5;5)$: нужно $3a+b=5$ и $3b-a=5$. Из первого $b=5-3a$, подставляем во второе: $3(5-3a)-a=5$, то есть $15-10a=5$, откуда $a=1$, $b=2$. Проверим: из $(1;2)$ получаем $(3\cdot 1+2;\ 3\cdot 2-1)=(5;5)$. Значит да, можно — например, из пары $(1;2)$.

б) Пусть пара $(c;d)$ получилась из какой-то пары $(a;b)$: $c=3a+b$, $d=3b-a$. Возьмём пару $(-b;a)$ и посмотрим, что из неё выходит: $\big(3\cdot(-b)+a;\ 3\cdot a-(-b)\big)=(a-3b;\ 3a+b)=(-d;\ c)$. То есть пара $(-d;c)$ получается из пары $(-b;a)$ — а это тоже пара целых чисел. Значит утверждение верно: да.

в) Разберёмся, какие вообще пары получаются. Пара $(3a+b;\ 3b-a)$ — это все пары $(u;v)$ вида $u=3a+b$, $v=3b-a$ при целых $a,b$. Выразим $a,b$ обратно: $a=\dfrac{3u-v}{10}$, $b=\dfrac{u+3v}{10}$. Они целые ровно тогда, когда $3u-v$ делится на 10 (второе условие тогда выполняется само). Итак, получаются те пары $(u;v)$, у которых $3u-v$ кратно 10.

Ищем ближайшую такую пару к $(9;2)$ по расстоянию $|u-9|+|v-2|$. У самой пары $(9;2)$ величина $3\cdot 9-2=25$ даёт остаток 5 при делении на 10 — значит она «не наша». Сдвинемся на $(du;dv)$: тогда $3u-v=25+3\,du-dv$, и нужно, чтобы $3\,du-dv$ давало остаток 5 по модулю 10 (чтобы в сумме с 25 вышло кратное 10). Перебираем маленькие сдвиги: при $|du|+|dv|=1$ и при $|du|+|dv|=2$ остаток 5 не получается, а вот при $du=2$, $dv=1$ выходит $3\cdot 2-1=5$ — подходит, и расстояние $|2|+|1|=3$. Это даёт пару $(11;3)$ (она получается из $(3;2)$: $(3\cdot 3+2;\ 3\cdot 2-3)=(11;3)$), а расстояние до $(9;2)$ равно $|11-9|+|3-2|=3$. Меньше 3 никак — мы проверили, что расстояния 1 и 2 невозможны. Значит наименьшее расстояние равно 3.