Правило хода: из дроби \dfrac{a}{b} делаем \dfrac{a+b}{2a+b}. Полезно уметь ходить и назад. Если получилась дробь \dfrac{p}{q}, то p=a+b и q=2a+b, откуда a=q-p и b=2p-q. То есть предок дроби \dfrac{p}{q} — это \dfrac{q-p}{2p-q}. Он годится (правильная несократимая дробь) тогда, когда 2p-q>0 и числитель меньше знаменателя, то есть q-p<2p-q, а это как раз означает \dfrac{p}{q}>\dfrac{2}{3}. Заметим ещё, что сократимость при ходе не появляется и не исчезает, так что несократимость сохраняется в обе стороны.

а) Просто походим вперёд из \dfrac{2}{3}: \dfrac{2}{3}\to\dfrac{2+3}{4+3}=\dfrac{5}{7}\to\dfrac{5+7}{10+7}=\dfrac{12}{17}\to\dfrac{12+17}{24+17}=\dfrac{29}{41}. Получили \dfrac{29}{41} за три хода — значит да, можно.

б) У дроби \dfrac{6}{7} единственный возможный предок \dfrac{q-p}{2p-q}=\dfrac{7-6}{12-7}=\dfrac{1}{5} (проверка: \dfrac{1}{5}\to\dfrac{1+5}{2+5}=\dfrac{6}{7}). Значит, чтобы прийти к \dfrac{6}{7} за два хода, надо было бы попасть в \dfrac{1}{5} за один ход. Но у \dfrac{1}{5} предка нет: там 2p-q=2\cdot 1-5=-3<0, дробь-предок получается с отрицательным знаменателем. Раз до \dfrac{1}{5} одним ходом не добраться, то и \dfrac{6}{7} за два хода не получить.

в) Разберёмся, какие дроби вообще получаются за два хода. Дробь \dfrac{c}{d} выходит одним ходом из своего предка тогда, когда \dfrac{c}{d}>\dfrac{2}{3} (это мы вывели выше). А чтобы было именно два хода, нужно, чтобы и сам предок \dfrac{d-c}{2c-d} получался одним ходом, то есть был больше \dfrac{2}{3}: \dfrac{d-c}{2c-d}>\dfrac{2}{3}. Раскроем (знаменатель 2c-d>0): 3(d-c)>2(2c-d), то есть 5d>7c, а это \dfrac{c}{d}<\dfrac{5}{7}. Значит за два хода получаются ровно те дроби, у которых \dfrac{2}{3}<\dfrac{c}{d}<\dfrac{5}{7}.

Теперь берём условие \dfrac{c}{d}>0{,}7. Так как 0{,}7>\dfrac{2}{3}, все дроби из промежутка от 0{,}7 до \dfrac{5}{7} за два хода получаются — они не подходят. А вот сама \dfrac{5}{7} за два хода уже не получается: её единственный предок \dfrac{2}{3}, а у \dfrac{2}{3} предка нет (получилась бы \dfrac{1}{1} — не правильная дробь). При этом \dfrac{5}{7}\approx 0{,}714>0{,}7. Значит самая маленькая дробь больше 0{,}7, которую нельзя получить за два хода — это \dfrac{5}{7}.