ID: 00022407
Источник: ФИПИ
Правило хода: из дроби $\dfrac{a}{b}$ делаем $\dfrac{a+b}{2a+b}$. Полезно уметь ходить и назад. Если получилась дробь $\dfrac{p}{q}$, то $p=a+b$ и $q=2a+b$, откуда $a=q-p$ и $b=2p-q$. То есть предок дроби $\dfrac{p}{q}$ — это $\dfrac{q-p}{2p-q}$. Он годится (правильная несократимая дробь) тогда, когда $2p-q>0$ и числитель меньше знаменателя, то есть $q-p<2p-q$, а это как раз означает $\dfrac{p}{q}>\dfrac{2}{3}$. Заметим ещё, что сократимость при ходе не появляется и не исчезает, так что несократимость сохраняется в обе стороны.
а) Просто походим вперёд из $\dfrac{2}{3}$: $\dfrac{2}{3}\to\dfrac{2+3}{4+3}=\dfrac{5}{7}\to\dfrac{5+7}{10+7}=\dfrac{12}{17}\to\dfrac{12+17}{24+17}=\dfrac{29}{41}$. Получили $\dfrac{29}{41}$ за три хода — значит да, можно.
б) У дроби $\dfrac{6}{7}$ единственный возможный предок $\dfrac{q-p}{2p-q}=\dfrac{7-6}{12-7}=\dfrac{1}{5}$ (проверка: $\dfrac{1}{5}\to\dfrac{1+5}{2+5}=\dfrac{6}{7}$). Значит, чтобы прийти к $\dfrac{6}{7}$ за два хода, надо было бы попасть в $\dfrac{1}{5}$ за один ход. Но у $\dfrac{1}{5}$ предка нет: там $2p-q=2\cdot 1-5=-3<0$, дробь-предок получается с отрицательным знаменателем. Раз до $\dfrac{1}{5}$ одним ходом не добраться, то и $\dfrac{6}{7}$ за два хода не получить.
в) Разберёмся, какие дроби вообще получаются за два хода. Дробь $\dfrac{c}{d}$ выходит одним ходом из своего предка тогда, когда $\dfrac{c}{d}>\dfrac{2}{3}$ (это мы вывели выше). А чтобы было именно два хода, нужно, чтобы и сам предок $\dfrac{d-c}{2c-d}$ получался одним ходом, то есть был больше $\dfrac{2}{3}$: $\dfrac{d-c}{2c-d}>\dfrac{2}{3}$. Раскроем (знаменатель $2c-d>0$): $3(d-c)>2(2c-d)$, то есть $5d>7c$, а это $\dfrac{c}{d}<\dfrac{5}{7}$. Значит за два хода получаются ровно те дроби, у которых $\dfrac{2}{3}<\dfrac{c}{d}<\dfrac{5}{7}$.
Теперь берём условие $\dfrac{c}{d}>0{,}7$. Так как $0{,}7>\dfrac{2}{3}$, все дроби из промежутка от $0{,}7$ до $\dfrac{5}{7}$ за два хода получаются — они не подходят. А вот сама $\dfrac{5}{7}$ за два хода уже не получается: её единственный предок $\dfrac{2}{3}$, а у $\dfrac{2}{3}$ предка нет (получилась бы $\dfrac{1}{1}$ — не правильная дробь). При этом $\dfrac{5}{7}\approx 0{,}714>0{,}7$. Значит самая маленькая дробь больше $0{,}7$, которую нельзя получить за два хода — это $\dfrac{5}{7}$.