ID: 00022405
Источник: ФИПИ
В паре два числа. Посмотрим, что делает с их суммой один ход. Первый вариант даёт $(a+2)+(b-1)=a+b+1$, второй вариант даёт $(a-1)+(b+2)=a+b+1$. То есть при любом ходе сумма чисел растёт ровно на 1! Начинаем с пары $(5;7)$, где сумма $5+7=12$. Значит после $k$ ходов сумма равна $12+k$ — это наш главный инструмент.
а) За 50 ходов сумма станет $12+50=62$. Если бы одно из чисел было равно 100, то второе равнялось бы $62-100=-38$ — отрицательное, а числа в паре обязаны быть положительными. Так не бывает, поэтому за 50 ходов пару с числом 100 не получить.
б) Сумма после $k$ ходов равна $12+k$. Хотим сумму 400: $12+k=400$, значит $k=388$. И так как каждый ход добавляет к сумме ровно 1, другого числа ходов быть не может — ответ ровно 388.
в) Пусть после каждого хода оба числа не больше 100. Тогда и их сумма не больше $200$, а сумма это $12+k$, поэтому $12+k\le 200$, откуда $k\le 188$. Но ровно 188 ходов не выйдет: тогда сумма была бы $200$, а это значит, что оба числа равны 100. Проверим это по остаткам от деления на 3. При каждом ходе число $a$ меняется на $+2$ или $-1$ — в обоих случаях его остаток по модулю 3 уменьшается на 1; то же и с числом $b$. В начале $a=5$ (остаток 2), $b=7$ (остаток 1). Чтобы прийти к $a=100$ (остаток 1), нужно, чтобы число ходов давало остаток 1 при делении на 3, а чтобы прийти к $b=100$ (тоже остаток 1) — нужно, чтобы число ходов делилось на 3. Одновременно так быть не может, значит пара $(100;100)$ недостижима, и 188 ходов не получится.
Покажем, что 187 ходов возможно. Будем чередовать: сначала ход $(a+2;\ b-1)$, потом $(a-1;\ b+2)$ — такая двойка ходов прибавляет к каждому числу по 1. Начав с $(5;7)$, после 93 таких двоек (это 186 ходов) придём к $(98;100)$, ни разу не выйдя за 100. Последним, 187-м ходом сделаем $(a+2;\ b-1)$: из $(98;100)$ получим $(100;99)$ — снова оба не больше 100. Значит наибольшее число ходов равно 187.