В паре два числа. Посмотрим, что делает с их суммой один ход. Первый вариант даёт (a+2)+(b-1)=a+b+1, второй вариант даёт (a-1)+(b+2)=a+b+1. То есть при любом ходе сумма чисел растёт ровно на 1! Начинаем с пары (5;7), где сумма 5+7=12. Значит после k ходов сумма равна 12+k — это наш главный инструмент.

а) За 50 ходов сумма станет 12+50=62. Если бы одно из чисел было равно 100, то второе равнялось бы 62-100=-38 — отрицательное, а числа в паре обязаны быть положительными. Так не бывает, поэтому за 50 ходов пару с числом 100 не получить.

б) Сумма после k ходов равна 12+k. Хотим сумму 400: 12+k=400, значит k=388. И так как каждый ход добавляет к сумме ровно 1, другого числа ходов быть не может — ответ ровно 388.

в) Пусть после каждого хода оба числа не больше 100. Тогда и их сумма не больше 200, а сумма это 12+k, поэтому 12+k\le 200, откуда k\le 188. Но ровно 188 ходов не выйдет: тогда сумма была бы 200, а это значит, что оба числа равны 100. Проверим это по остаткам от деления на 3. При каждом ходе число a меняется на +2 или -1 — в обоих случаях его остаток по модулю 3 уменьшается на 1; то же и с числом b. В начале a=5 (остаток 2), b=7 (остаток 1). Чтобы прийти к a=100 (остаток 1), нужно, чтобы число ходов давало остаток 1 при делении на 3, а чтобы прийти к b=100 (тоже остаток 1) — нужно, чтобы число ходов делилось на 3. Одновременно так быть не может, значит пара (100;100) недостижима, и 188 ходов не получится.

Покажем, что 187 ходов возможно. Будем чередовать: сначала ход (a+2;\ b-1), потом (a-1;\ b+2) — такая двойка ходов прибавляет к каждому числу по 1. Начав с (5;7), после 93 таких двоек (это 186 ходов) придём к (98;100), ни разу не выйдя за 100. Последним, 187-м ходом сделаем (a+2;\ b-1): из (98;100) получим (100;99) — снова оба не больше 100. Значит наибольшее число ходов равно 187.