а) Все точки A, B, E, D, K лежат на одной окружности. В четырёхугольнике ABED имеем AD\parallel BE (ведь AD\parallel BC, а E на BC), поэтому ABED — вписанная, а значит, равнобедренная трапеция; её диагонали равны: AE=BD. В четырёхугольнике ABKD имеем AB\parallel DK (ведь AB\parallel CD, а K на CD), значит и это равнобедренная трапеция: AK=BD. Отсюда AE=AK. Что и требовалось.

б) Обозначим AB=CD=a и AD=BC=b. Сначала разберёмся с точкой E. Из равнобедренной трапеции ABED боковые стороны равны: ED=AB=a. Но и DC=AB=a (стороны параллелограмма). Значит, треугольник DEC равнобедренный: DE=DC=a.

Угол при вершине C этого треугольника — это угол \angle DCB параллелограмма, а он равен \angle BAD (противоположные углы параллелограмма), поэтому \cos\angle DCE=\cos\angle BAD=0{,}2. Опустив высоту из D на основание EC равнобедренного треугольника, получаем EC=2\cdot DC\cdot\cos\angle DCE=2a\cdot0{,}2=0{,}4a. Так как CE=10, то 0{,}4a=10 и a=25.

Теперь применим степень точки C. Секущая через E и B даёт произведение CE\cdot CB, секущая через K и D даёт CK\cdot CD, и они равны: CE\cdot CB=CK\cdot CD. Здесь CB=b, CD=a=25, CK=CD-DK=25-9=16. Значит 10\cdot b=16\cdot25=400, откуда b=40.

Итак, AD=40. Проверка: тогда DK=|a-2b\cos\angle BAD|=|25-2\cdot40\cdot0{,}2|=|25-16|=9 — совпадает с условием, всё сходится.