ID: 00022389
Источник: ФИПИ
а) Все точки $A$, $B$, $E$, $D$, $K$ лежат на одной окружности. В четырёхугольнике $ABED$ имеем $AD\parallel BE$ (ведь $AD\parallel BC$, а $E$ на $BC$), поэтому $ABED$ — вписанная, а значит, равнобедренная трапеция; её диагонали равны: $AE=BD$. В четырёхугольнике $ABKD$ имеем $AB\parallel DK$ (ведь $AB\parallel CD$, а $K$ на $CD$), значит и это равнобедренная трапеция: $AK=BD$. Отсюда $AE=AK$. Что и требовалось.
б) Обозначим $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Сначала разберёмся с точкой $E$. Из равнобедренной трапеции $ABED$ боковые стороны равны: $ED=AB=a$. Но и $DC=AB=a$ (стороны параллелограмма). Значит, треугольник $DEC$ равнобедренный: $DE=DC=a$.
Угол при вершине $C$ этого треугольника — это угол $\angle DCB$ параллелограмма, а он равен $\angle BAD$ (противоположные углы параллелограмма), поэтому $\cos\angle DCE=\cos\angle BAD=0{,}2$. Опустив высоту из $D$ на основание $EC$ равнобедренного треугольника, получаем $EC=2\cdot DC\cdot\cos\angle DCE=2a\cdot0{,}2=0{,}4a$. Так как $CE=10$, то $0{,}4a=10$ и $a=25$.
Теперь применим степень точки $C$. Секущая через $E$ и $B$ даёт произведение $CE\cdot CB$, секущая через $K$ и $D$ даёт $CK\cdot CD$, и они равны: $CE\cdot CB=CK\cdot CD$. Здесь $CB=b$, $CD=a=25$, $CK=CD-DK=25-9=16$. Значит $10\cdot b=16\cdot25=400$, откуда $b=40$.
Итак, $AD=40$. Проверка: тогда $DK=|a-2b\cos\angle BAD|=|25-2\cdot40\cdot0{,}2|=|25-16|=9$ — совпадает с условием, всё сходится.