Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1. б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A равно 45 в степени °, B индекс 1 C индекс 1 равно 6 и площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1.

а) доказано; б) R равно 3 корень из: начало аргумента: 20 минус 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента

Окружности… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00022387

№2. Задание 17

ID: 00022387

Окружность проходит через вершины

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

и пересекает

$AB$

$AC$

в точках

$C_1$

$B_1$

соответственно. а) Докажите, что треугольник

$ABC$

подобен треугольнику

$AB_1C_1$

. б) Вычислите радиус данной окружности, если

\angle A=45^\circ

$B_1C_1=6$

и площадь треугольника

$AB_1C_1$

в восемь раз меньше площади четырёхугольника

$BCB_1C_1$

Источник: ФИПИ

Решение

а) Четыре точки $$B$$ , $$C$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ лежат на одной окружности, то есть $$BCB_1C_1$$ — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине. Внешний угол при вершине $$B_1$$ (сторону $$CB_1$$ продолжаем за $$B_1$$ — попадаем в $$A$$ ) — это как раз $\angle AB_1C_1$ , а противоположная вершина — $$B$$ . Значит $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ .

Теперь у треугольников $$AB_1C_1$$ и $$ABC$$ общий угол $$A$$ и равные углы $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ . По двум углам они подобны, причём вершинам соответствуют $A\leftrightarrow A$ , $B_1\leftrightarrow B$ , $C_1\leftrightarrow C$ . Что и требовалось.

б) Пусть коэффициент подобия (малый треугольник к большому) равен $$k$$ , тогда $B_1C_1=k\cdot BC$ и площади относятся как $$k^2$$ . Малый треугольник $$AB_1C_1$$ и четырёхугольник $$BCB_1C_1$$ вместе составляют весь треугольник $$ABC$$ . По условию $S_{AB_1C_1}=\dfrac18 S_{BCB_1C_1}$ , значит $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}$ . Отсюда $k^2=\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac19$ , то есть $k=\dfrac13$ и $BC=3\cdot B_1C_1=18$ .

Радиус ищем через хорды. Обозначим $$R$$ — радиус окружности. Хорда $$B_1C_1$$ видна под вписанным углом $\beta_1$ , хорда $$BC$$ — под углом $\beta$ , и по теореме синусов для окружности $B_1C_1=2R\sin\beta_1$ , $BC=2R\sin\beta$ . Угол между секущими $$AB$$ и $$AC$$ , выходящими из $$A$$ , равен полуразности дуг, то есть $\angle A=\beta-\beta_1$ .

Из $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}$ получаем $\sin\beta=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$ . Подставляем $\beta=\beta_1+\angle A$ : $\sin(\beta_1+45^\circ)=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$ . Раскрываем и делим на $\cos\beta_1$ : $\operatorname{tg}\beta_1=\dfrac{k\sin A}{1-k\cos A}$ . Тогда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$ , и радиус $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}=\dfrac{BC\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}{2\sin A}$ .

Считаем при $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $k=\dfrac13$ , $$BC=18$$ : $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac19-\dfrac{\sqrt2}{3}=\dfrac{10-3\sqrt2}{9}$ . Тогда $R=\dfrac{18}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{18}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{6}{\sqrt2}\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt2\cdot\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

Итак $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

Ответ

а) доказано; б)

R=3\sqrt{20-6\sqrt2}

Другие задания по теме «Окружности и системы окружностей» (8)