Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022387

а) Четыре точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, то есть $BCB_1C_1$ — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине. Внешний угол при вершине $B_1$ (сторону $CB_1$ продолжаем за $B_1$ — попадаем в $A$) — это как раз $\angle AB_1C_1$, а противоположная вершина — $B$. Значит $\angle AB_1C_1=\angle ABC$.

Теперь у треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ общий угол $A$ и равные углы $\angle AB_1C_1=\angle ABC$. По двум углам они подобны, причём вершинам соответствуют $A\leftrightarrow A$, $B_1\leftrightarrow B$, $C_1\leftrightarrow C$. Что и требовалось.

б) Пусть коэффициент подобия (малый треугольник к большому) равен $k$, тогда $B_1C_1=k\cdot BC$ и площади относятся как $k^2$. Малый треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ вместе составляют весь треугольник $ABC$. По условию $S_{AB_1C_1}=\dfrac18 S_{BCB_1C_1}$, значит $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}$. Отсюда $k^2=\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac19$, то есть $k=\dfrac13$ и $BC=3\cdot B_1C_1=18$.

Радиус ищем через хорды. Обозначим $R$ — радиус окружности. Хорда $B_1C_1$ видна под вписанным углом $\beta_1$, хорда $BC$ — под углом $\beta$, и по теореме синусов для окружности $B_1C_1=2R\sin\beta_1$, $BC=2R\sin\beta$. Угол между секущими $AB$ и $AC$, выходящими из $A$, равен полуразности дуг, то есть $\angle A=\beta-\beta_1$.

Из $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}$ получаем $\sin\beta=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$. Подставляем $\beta=\beta_1+\angle A$: $\sin(\beta_1+45^\circ)=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$. Раскрываем и делим на $\cos\beta_1$: $\operatorname{tg}\beta_1=\dfrac{k\sin A}{1-k\cos A}$. Тогда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$, и радиус $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}=\dfrac{BC\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}{2\sin A}$.

Считаем при $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $k=\dfrac13$, $BC=18$: $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac19-\dfrac{\sqrt2}{3}=\dfrac{10-3\sqrt2}{9}$. Тогда $R=\dfrac{18}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{18}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{6}{\sqrt2}\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt2\cdot\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt{20-6\sqrt2}$.

Итак $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$.