Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1 . б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A равно 45 в степени ° , B индекс 1 C индекс 1 равно 6 и площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1 .

а) доказано; б) R равно 3 корень из: начало аргумента: 20 минус 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента

Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00022387

Окружность проходит через вершины

B

C

треугольника

ABC

и пересекает

AB

AC

в точках

C_1

B_1

соответственно. а) Докажите, что треугольник

ABC

подобен треугольнику

AB_1C_1

. б) Вычислите радиус данной окружности, если

\angle A=45^\circ

B_1C_1=6

и площадь треугольника

AB_1C_1

в восемь раз меньше площади четырёхугольника

BCB_1C_1

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Четыре точки $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ лежат на одной окружности, то есть $BCB_1C_1$ — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине. Внешний угол при вершине $B_1$ (сторону $CB_1$ продолжаем за $B_1$ — попадаем в $A$ ) — это как раз $\angle AB_1C_1$ , а противоположная вершина — $B$ . Значит $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ .

Теперь у треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ общий угол $A$ и равные углы $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ . По двум углам они подобны, причём вершинам соответствуют $A\leftrightarrow A$ , $B_1\leftrightarrow B$ , $C_1\leftrightarrow C$ . Что и требовалось.

б) Пусть коэффициент подобия (малый треугольник к большому) равен $k$ , тогда $B_1C_1=k\cdot BC$ и площади относятся как $k^2$ . Малый треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ вместе составляют весь треугольник $ABC$ . По условию $S_{AB_1C_1}=\dfrac18 S_{BCB_1C_1}$ , значит $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}$ . Отсюда $k^2=\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac19$ , то есть $k=\dfrac13$ и $BC=3\cdot B_1C_1=18$ .

Радиус ищем через хорды. Обозначим $R$ — радиус окружности. Хорда $B_1C_1$ видна под вписанным углом $\beta_1$ , хорда $BC$ — под углом $\beta$ , и по теореме синусов для окружности $B_1C_1=2R\sin\beta_1$ , $BC=2R\sin\beta$ . Угол между секущими $AB$ и $AC$ , выходящими из $A$ , равен полуразности дуг, то есть $\angle A=\beta-\beta_1$ .

Из $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}$ получаем $\sin\beta=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$ . Подставляем $\beta=\beta_1+\angle A$ : $\sin(\beta_1+45^\circ)=\dfrac{\sin\beta_1}{k}$ . Раскрываем и делим на $\cos\beta_1$ : $\operatorname{tg}\beta_1=\dfrac{k\sin A}{1-k\cos A}$ . Тогда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$ , и радиус $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}=\dfrac{BC\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}{2\sin A}$ .

Считаем при $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $k=\dfrac13$ , $BC=18$ : $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac19-\dfrac{\sqrt2}{3}=\dfrac{10-3\sqrt2}{9}$ . Тогда $R=\dfrac{18}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{18}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3}=\dfrac{6}{\sqrt2}\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt2\cdot\sqrt{10-3\sqrt2}=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

Итак $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

Ответ

а) доказано; б)

R=3\sqrt{20-6\sqrt2}