Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022386

а) Есть красивый приём: «сдвинуть» одну диагональ. Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, диагонали $AC$ и $BD$. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ за точку $D$ — в точке $E$.

Тогда $BCED$ — параллелограмм: $BC\parallel DE$ (это одна прямая — основание) и $CE\parallel BD$ по построению. Значит $DE=BC$ и $CE=BD$. Отсюда $AE=AD+DE=AD+BC=13$ — вся сумма оснований, а $CE=BD=12$.

Посмотрим на треугольник $ACE$: его стороны $AC=5$, $CE=12$, $AE=13$. Проверяем: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. Обратная теорема Пифагора говорит, что треугольник прямоугольный, причём прямой угол лежит против $AE$, то есть при вершине $C$: $AC\perp CE$. А так как $CE\parallel BD$, то и $AC\perp BD$. Диагонали перпендикулярны — что и требовалось.

б) Высота трапеции — это расстояние между прямыми $BC$ и $AD$. Но вершина $C$ лежит на прямой $BC$, а весь отрезок $AE$ лежит на прямой $AD$. Значит высота трапеции — это в точности высота треугольника $ACE$, опущенная из $C$ на $AE$.

Площадь треугольника $ACE$ найдём двумя способами. Как прямоугольного (катеты $AC$ и $CE$): $S=\dfrac12\cdot 5\cdot 12=30$. И через основание $AE$ и высоту $h$: $S=\dfrac12\cdot AE\cdot h=\dfrac12\cdot 13\cdot h$. Приравниваем: $\dfrac{13h}{2}=30$, откуда $h=\dfrac{60}{13}$. Проверка: $\dfrac{60}{13}\approx4{,}6$ — меньше меньшей диагонали $5$, как и должно быть.