а) Есть красивый приём: «сдвинуть» одну диагональ. Пусть трапеция ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD за точку D — в точке E.

Тогда BCED — параллелограмм: BC\parallel DE (это одна прямая — основание) и CE\parallel BD по построению. Значит DE=BC и CE=BD. Отсюда AE=AD+DE=AD+BC=13 — вся сумма оснований, а CE=BD=12.

Посмотрим на треугольник ACE: его стороны AC=5, CE=12, AE=13. Проверяем: 5^2+12^2=25+144=169=13^2. Обратная теорема Пифагора говорит, что треугольник прямоугольный, причём прямой угол лежит против AE, то есть при вершине C: AC\perp CE. А так как CE\parallel BD, то и AC\perp BD. Диагонали перпендикулярны — что и требовалось.

б) Высота трапеции — это расстояние между прямыми BC и AD. Но вершина C лежит на прямой BC, а весь отрезок AE лежит на прямой AD. Значит высота трапеции — это в точности высота треугольника ACE, опущенная из C на AE.

Площадь треугольника ACE найдём двумя способами. Как прямоугольного (катеты AC и CE): S=\dfrac12\cdot 5\cdot 12=30. И через основание AE и высоту h: S=\dfrac12\cdot AE\cdot h=\dfrac12\cdot 13\cdot h. Приравниваем: \dfrac{13h}{2}=30, откуда h=\dfrac{60}{13}. Проверка: \dfrac{60}{13}\approx4{,}6 — меньше меньшей диагонали 5, как и должно быть.