а) Введём координаты: A(0;0), сторону AD пустим по оси x, D(d;0). Пусть AB=c и \angle BAD=\alpha, тогда B(c\cos\alpha;\ c\sin\alpha), а C=B+\overrightarrow{AD}=(d+c\cos\alpha;\ c\sin\alpha).

Высота BP падает на AD, её основание P(c\cos\alpha;0), длина BP=c\sin\alpha. Высота BQ падает на сторону CD (она параллельна AB); её длина — это высота параллелограмма к стороне AB, то есть BQ=d\sin\alpha, а основание находим проекцией: Q\left(d\sin^2\alpha+c\cos\alpha;\ (c-d\cos\alpha)\sin\alpha\right).

Условие AB=BQ даёт c=d\sin\alpha. Условие AM=BP ставит точку M(c\sin\alpha;0).

Сравним оба отрезка через квадраты. PQ^2=(d\sin^2\alpha)^2+\big((c-d\cos\alpha)\sin\alpha\big)^2=\sin^2\alpha\,(d^2+c^2-2cd\cos\alpha); а BM^2=c^2(1+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha). Подставим d=\dfrac{c}{\sin\alpha} в PQ^2 — получится ровно c^2(1+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha). Значит PQ^2=BM^2, то есть BM=PQ. Доказано.

б) Здесь BP=c\sin\alpha=8 и AB=c=10, поэтому \sin\alpha=0{,}8, а угол острый, значит \cos\alpha=0{,}6. Из AB=BQ: d\sin\alpha=10, откуда d=\dfrac{10}{0{,}8}=12{,}5.

Теперь координаты нужных точек: A(0;0), P(c\cos\alpha;0)=(6;0). Для Q: d\sin^2\alpha=12{,}5\cdot0{,}64=8 и c\cos\alpha=6, значит Q_x=8+6=14; далее c-d\cos\alpha=10-7{,}5=2{,}5, значит Q_y=2{,}5\cdot0{,}8=2. Итак Q(14;2).

Площадь треугольника APQ по координатам: S=\dfrac12\left|x_P\cdot y_Q-x_Q\cdot y_P\right|=\dfrac12\left|6\cdot2-14\cdot0\right|=\dfrac12\cdot12=6. Всё сходится.