ID: 00022385
Источник: ФИПИ
а) Введём координаты: $A(0;0)$, сторону $AD$ пустим по оси $x$, $D(d;0)$. Пусть $AB=c$ и $\angle BAD=\alpha$, тогда $B(c\cos\alpha;\ c\sin\alpha)$, а $C=B+\overrightarrow{AD}=(d+c\cos\alpha;\ c\sin\alpha)$.
Высота $BP$ падает на $AD$, её основание $P(c\cos\alpha;0)$, длина $BP=c\sin\alpha$. Высота $BQ$ падает на сторону $CD$ (она параллельна $AB$); её длина — это высота параллелограмма к стороне $AB$, то есть $BQ=d\sin\alpha$, а основание находим проекцией: $Q\left(d\sin^2\alpha+c\cos\alpha;\ (c-d\cos\alpha)\sin\alpha\right)$.
Условие $AB=BQ$ даёт $c=d\sin\alpha$. Условие $AM=BP$ ставит точку $M(c\sin\alpha;0)$.
Сравним оба отрезка через квадраты. $PQ^2=(d\sin^2\alpha)^2+\big((c-d\cos\alpha)\sin\alpha\big)^2=\sin^2\alpha\,(d^2+c^2-2cd\cos\alpha)$; а $BM^2=c^2(1+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha)$. Подставим $d=\dfrac{c}{\sin\alpha}$ в $PQ^2$ — получится ровно $c^2(1+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha)$. Значит $PQ^2=BM^2$, то есть $BM=PQ$. Доказано.
б) Здесь $BP=c\sin\alpha=8$ и $AB=c=10$, поэтому $\sin\alpha=0{,}8$, а угол острый, значит $\cos\alpha=0{,}6$. Из $AB=BQ$: $d\sin\alpha=10$, откуда $d=\dfrac{10}{0{,}8}=12{,}5$.
Теперь координаты нужных точек: $A(0;0)$, $P(c\cos\alpha;0)=(6;0)$. Для $Q$: $d\sin^2\alpha=12{,}5\cdot0{,}64=8$ и $c\cos\alpha=6$, значит $Q_x=8+6=14$; далее $c-d\cos\alpha=10-7{,}5=2{,}5$, значит $Q_y=2{,}5\cdot0{,}8=2$. Итак $Q(14;2)$.
Площадь треугольника $APQ$ по координатам: $S=\dfrac12\left|x_P\cdot y_Q-x_Q\cdot y_P\right|=\dfrac12\left|6\cdot2-14\cdot0\right|=\dfrac12\cdot12=6$. Всё сходится.