В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно, точка K отмечена на катете BC так, что CK: KB равно 1: 3 . а) Докажите, что AN равно 2KM . б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM . Найдите длину отрезка прямой BP , заключённого внутри треугольника ABC , если AC равно 6 , BC равно 8 .

а) доказано; б) дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 109 конец аргумента, знаменатель: 5 конец дроби

Задание 17 ЕГЭ по математике: В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины…

№2. Задание 17

ID: 00022384

В прямоугольном треугольнике

ABC

точки

M

N

— середины гипотенузы

AB

и катета

BC

соответственно, точка

K

отмечена на катете

BC

так, что

CK:KB = 1:3

. а) Докажите, что

AN = 2KM

. б) Пусть

P

— точка пересечения отрезков

AN

KM

. Найдите длину отрезка прямой

BP

, заключённого внутри треугольника

ABC

, если

AC = 6

BC = 8

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Пусть катеты равны $AC = b$ и $BC = a$ (прямой угол в $C$ ). Точка $N$ — середина $BC$ , а $M$ — середина гипотенузы $AB$ .

Сначала $AN$ . В прямоугольном треугольнике $ACN$ (прямой угол в $C$ ) катеты $AC = b$ и $CN = \dfrac{a}{2}$ , поэтому $AN^2 = b^2 + \dfrac{a^2}{4}$ .

Теперь $KM$ . Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ , значит, это средняя линия: $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{b}{2}$ . А раз $AC \perp BC$ , то и $MN \perp BC$ . При этом $N$ — середина $BC$ , то есть $CN = \dfrac{a}{2}$ . Точка $K$ делит $BC$ так, что $CK:KB = 1:3$ , поэтому $CK = \dfrac{a}{4}$ , и тогда $NK = CN - CK = \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{4} = \dfrac{a}{4}$ .

В прямоугольном треугольнике $MNK$ (прямой угол в $N$ , ведь $MN \perp BC$ ): $KM^2 = MN^2 + NK^2 = \dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^2}{16} = \dfrac{1}{4}\left(b^2 + \dfrac{a^2}{4}\right) = \dfrac{1}{4}AN^2$ . Значит, $KM = \dfrac{1}{2}AN$ , то есть $AN = 2KM$ . Что и требовалось доказать.

б) Возьмём координаты: прямой угол в $C$ , $C(0;0)$ , $A(6;0)$ , $B(0;8)$ . Тогда $M$ — середина $AB$ : $M(3;4)$ ; $N$ — середина $BC$ : $N(0;4)$ ; $K$ на $BC$ с $CK = \dfrac{1}{4}\cdot 8 = 2$ : $K(0;2)$ .

Найдём $P = AN \cap KM$ . Прямая $AN$ : из $A(6;0)$ в $N(0;4)$ , точки $(6 - 6t;\ 4t)$ . Прямая $KM$ : из $K(0;2)$ в $M(3;4)$ , точки $(3r;\ 2 + 2r)$ . Из $4t = 2 + 2r$ получаем $r = 2t - 1$ ; подставляя в $6 - 6t = 3r$ , находим $6 - 6t = 6t - 3$ , $t = \dfrac{3}{4}$ . Тогда $P = \left(6 - 6\cdot\dfrac{3}{4};\ 4\cdot\dfrac{3}{4}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\ 3\right)$ .

Теперь проведём прямую $BP$ и найдём, где она выходит из треугольника. Один её конец внутри треугольника — вершина $B$ , а второй лежит на противоположной стороне $AC$ (это ось $x$ ). Прямая $BP$ идёт из $B(0;8)$ в направлении $P - B = \left(\dfrac{3}{2};\ -5\right)$ , то есть $(3;-10)$ . Точки: $\left(\dfrac{3}{2}s;\ 8 - 5s\right)$ ; пересечение с $AC$ ( $y = 0$ ): $8 - 5s = 0$ , $s = \dfrac{8}{5}$ , $x = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{8}{5} = \dfrac{12}{5}$ . Значит, прямая выходит в точке $G\left(\dfrac{12}{5};\ 0\right)$ на стороне $AC$ .

Длина отрезка внутри треугольника — это $BG = \sqrt{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2 + 8^2} = \sqrt{\dfrac{144}{25} + \dfrac{1600}{25}} = \sqrt{\dfrac{1744}{25}} = \dfrac{\sqrt{1744}}{5} = \dfrac{4\sqrt{109}}{5}$ .

Ответ

а) доказано; б)

\dfrac{4\sqrt{109}}{5}