ID: 00022384
Источник: ФИПИ
а) Пусть катеты равны $AC = b$ и $BC = a$ (прямой угол в $C$). Точка $N$ — середина $BC$, а $M$ — середина гипотенузы $AB$.
Сначала $AN$. В прямоугольном треугольнике $ACN$ (прямой угол в $C$) катеты $AC = b$ и $CN = \dfrac{a}{2}$, поэтому $AN^2 = b^2 + \dfrac{a^2}{4}$.
Теперь $KM$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, значит, это средняя линия: $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{b}{2}$. А раз $AC \perp BC$, то и $MN \perp BC$. При этом $N$ — середина $BC$, то есть $CN = \dfrac{a}{2}$. Точка $K$ делит $BC$ так, что $CK:KB = 1:3$, поэтому $CK = \dfrac{a}{4}$, и тогда $NK = CN - CK = \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{4} = \dfrac{a}{4}$.
В прямоугольном треугольнике $MNK$ (прямой угол в $N$, ведь $MN \perp BC$): $KM^2 = MN^2 + NK^2 = \dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^2}{16} = \dfrac{1}{4}\left(b^2 + \dfrac{a^2}{4}\right) = \dfrac{1}{4}AN^2$. Значит, $KM = \dfrac{1}{2}AN$, то есть $AN = 2KM$. Что и требовалось доказать.
б) Возьмём координаты: прямой угол в $C$, $C(0;0)$, $A(6;0)$, $B(0;8)$. Тогда $M$ — середина $AB$: $M(3;4)$; $N$ — середина $BC$: $N(0;4)$; $K$ на $BC$ с $CK = \dfrac{1}{4}\cdot 8 = 2$: $K(0;2)$.
Найдём $P = AN \cap KM$. Прямая $AN$: из $A(6;0)$ в $N(0;4)$, точки $(6 - 6t;\ 4t)$. Прямая $KM$: из $K(0;2)$ в $M(3;4)$, точки $(3r;\ 2 + 2r)$. Из $4t = 2 + 2r$ получаем $r = 2t - 1$; подставляя в $6 - 6t = 3r$, находим $6 - 6t = 6t - 3$, $t = \dfrac{3}{4}$. Тогда $P = \left(6 - 6\cdot\dfrac{3}{4};\ 4\cdot\dfrac{3}{4}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\ 3\right)$.
Теперь проведём прямую $BP$ и найдём, где она выходит из треугольника. Один её конец внутри треугольника — вершина $B$, а второй лежит на противоположной стороне $AC$ (это ось $x$). Прямая $BP$ идёт из $B(0;8)$ в направлении $P - B = \left(\dfrac{3}{2};\ -5\right)$, то есть $(3;-10)$. Точки: $\left(\dfrac{3}{2}s;\ 8 - 5s\right)$; пересечение с $AC$ ($y = 0$): $8 - 5s = 0$, $s = \dfrac{8}{5}$, $x = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{8}{5} = \dfrac{12}{5}$. Значит, прямая выходит в точке $G\left(\dfrac{12}{5};\ 0\right)$ на стороне $AC$.
Длина отрезка внутри треугольника — это $BG = \sqrt{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2 + 8^2} = \sqrt{\dfrac{144}{25} + \dfrac{1600}{25}} = \sqrt{\dfrac{1744}{25}} = \dfrac{\sqrt{1744}}{5} = \dfrac{4\sqrt{109}}{5}$.