Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022383

а) Соберём углы. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($AH$ — высота, значит, $\angle AHC = 90^\circ$) угол $C$ равен $30^\circ$, поэтому $\angle HAC = 60^\circ$.

Луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$, значит, он делит эти $60^\circ$ пополам: $\angle MAC = \angle MAH = 30^\circ$.

Теперь посмотрим на треугольник $AMC$. Точка $M$ лежит на $BC$, поэтому $\angle MCA = \angle BCA = 30^\circ$. Выходит, в треугольнике $AMC$ два угла по $30^\circ$: $\angle MAC = \angle MCA = 30^\circ$. Значит, он равнобедренный и $MA = MC$.

Но $M$ — середина $BC$, поэтому $MC = MB$. Собираем цепочку: $MA = MC = MB$, то есть медиана $AM$ равна половине стороны $BC$. А если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то угол напротив неё прямой: $\angle BAC = 90^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Теперь треугольник прямоугольный: $\angle A = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Катет $AB = 8$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза $BC = \dfrac{AB}{\sin 30^\circ} = 16$, а второй катет $AC = AB\cdot\operatorname{tg} 60^\circ = 8\sqrt{3}$.

Введём координаты: прямой угол в $A$, поэтому $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(0;\,8\sqrt{3})$. Тогда $M$ — середина $BC$: $M(4;\ 4\sqrt{3})$.

Высота $AH$: опустив перпендикуляр из $A$ на $BC$, получаем $H(6;\ 2\sqrt{3})$ — и это ровно середина $BM$, как и сказано в условии («точка $H$ на отрезке $BM$»).

Высота $MQ$ треугольника $AMC$ опущена на $AC$ (ось $y$), поэтому $MQ$ горизонтальна, а прямая $MQ$ — это $y = 4\sqrt{3}$. Прямая $AH$ идёт из начала в направлении $(6;\,2\sqrt{3})$, то есть $(3;\,\sqrt{3})$; на ней $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,x$. Пересекаем с $y = 4\sqrt{3}$: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,x = 4\sqrt{3}$, откуда $x = 12$. Значит, $F(12;\ 4\sqrt{3})$.

В треугольнике $CMF$ вершины $M(4;4\sqrt{3})$ и $F(12;4\sqrt{3})$ лежат на одной горизонтали, поэтому основание $MF = 12 - 4 = 8$, а высота — расстояние от $C(0;8\sqrt{3})$ до прямой $y = 4\sqrt{3}$, равное $8\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Площадь: $S_{CMF} = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.