В треугольнике ABC угол ACB равен 30 в степени ° , отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM . Отрезок MQ — высота треугольника AMC , а прямые AH и MQ пересекаются в точке F . Известно, что луч AM — биссектриса угла CAH . а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника CMF , если AB равно 8 .

а) доказано; б) 16 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента

Задание 17 ЕГЭ по математике: В треугольнике ABC угол ACB равен 30 в степени ° , отрезки AH и…

№2. Задание 17

ID: 00022383

В треугольнике

ABC

угол

ACB

равен

30^\circ

, отрезки

AH

AM

— высота и медиана соответственно, причём точка

H

лежит на отрезке

BM

. Отрезок

MQ

— высота треугольника

AMC

, а прямые

AH

MQ

пересекаются в точке

F

. Известно, что луч

AM

— биссектриса угла

CAH

. а) Докажите, что треугольник

ABC

прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника

CMF

, если

AB = 8

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Соберём углы. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ( $AH$ — высота, значит, $\angle AHC = 90^\circ$ ) угол $C$ равен $30^\circ$ , поэтому $\angle HAC = 60^\circ$ .

Луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$ , значит, он делит эти $60^\circ$ пополам: $\angle MAC = \angle MAH = 30^\circ$ .

Теперь посмотрим на треугольник $AMC$ . Точка $M$ лежит на $BC$ , поэтому $\angle MCA = \angle BCA = 30^\circ$ . Выходит, в треугольнике $AMC$ два угла по $30^\circ$ : $\angle MAC = \angle MCA = 30^\circ$ . Значит, он равнобедренный и $MA = MC$ .

Но $M$ — середина $BC$ , поэтому $MC = MB$ . Собираем цепочку: $MA = MC = MB$ , то есть медиана $AM$ равна половине стороны $BC$ . А если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то угол напротив неё прямой: $\angle BAC = 90^\circ$ . Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Теперь треугольник прямоугольный: $\angle A = 90^\circ$ , $\angle C = 30^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ . Катет $AB = 8$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому гипотенуза $BC = \dfrac{AB}{\sin 30^\circ} = 16$ , а второй катет $AC = AB\cdot\operatorname{tg} 60^\circ = 8\sqrt{3}$ .

Введём координаты: прямой угол в $A$ , поэтому $A(0;0)$ , $B(8;0)$ , $C(0;\,8\sqrt{3})$ . Тогда $M$ — середина $BC$ : $M(4;\ 4\sqrt{3})$ .

Высота $AH$ : опустив перпендикуляр из $A$ на $BC$ , получаем $H(6;\ 2\sqrt{3})$ — и это ровно середина $BM$ , как и сказано в условии («точка $H$ на отрезке $BM$ »).

Высота $MQ$ треугольника $AMC$ опущена на $AC$ (ось $y$ ), поэтому $MQ$ горизонтальна, а прямая $MQ$ — это $y = 4\sqrt{3}$ . Прямая $AH$ идёт из начала в направлении $(6;\,2\sqrt{3})$ , то есть $(3;\,\sqrt{3})$ ; на ней $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,x$ . Пересекаем с $y = 4\sqrt{3}$ : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,x = 4\sqrt{3}$ , откуда $x = 12$ . Значит, $F(12;\ 4\sqrt{3})$ .

В треугольнике $CMF$ вершины $M(4;4\sqrt{3})$ и $F(12;4\sqrt{3})$ лежат на одной горизонтали, поэтому основание $MF = 12 - 4 = 8$ , а высота — расстояние от $C(0;8\sqrt{3})$ до прямой $y = 4\sqrt{3}$ , равное $8\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ . Площадь: $S_{CMF} = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ .

Ответ

а) доказано; б)

16\sqrt{3}