Задание 16 ЕГЭ по математике: В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в…

№2. Задание 16

ID: 00022382

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг будет возрастать на

r\%

по сравнению с концом предыдущего года (

r

— целое число); • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; • в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; • в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей; • в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; • к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите

r

Решение

Кредит взяли в июле 2026 на $800$ тыс, гасят за десять лет, и здесь все долги на июль восстанавливаются полностью. С 2027 по 2031 долг падает на $A$ , а в июле 2031 равен $200$ тыс: $800-5A=200$ , значит $A=120$ . С 2032 по 2036 падает на $B$ , а к июлю 2036 ноль: $200-5B=0$ , значит $B=40$ .

Выпишем долги на июль (в тыс): $800,\ 680,\ 560,\ 440,\ 320,\ 200,\ 160,\ 120,\ 80,\ 40,\ 0$ . Сумма платежей = сам кредит ( $800$ ) плюс проценты. Проценты за год — это $\dfrac{r}{100}$ от долга прошлого июля, поэтому всего проценты равны $\dfrac{r}{100}\cdot(d_0+d_1+\dots+d_9)$ .

Сложим долги с 2026 по 2035 год: $800+680+560+440+320+200+160+120+80+40=3400$ . Тогда сумма платежей: $800+\dfrac{r}{100}\cdot3400=1480$ . Отсюда $\dfrac{r}{100}\cdot3400=680$ , то есть $\dfrac{r}{100}=0{,}2$ и $r=20$ .

Проверим: при $r=20$ проценты дают $0{,}2\cdot3400=680$ тыс, плюс кредит $800$ тыс — ровно $1480$ тыс. Всё сходится, $r=20$ .

Ответ

r=20