Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022378

Смотри: в системе две линии, и надо, чтобы вместе они дали ровно четыре общие точки. Начнём со второго уравнения — оно проще и задаёт всю картину.

Перенесём всё влево: $x^2+y-xy-x=0$. Сгруппируем: $x(x-1)-y(x-1)=0$, то есть $(x-1)(x-y)=0$. Значит, второе уравнение — это на самом деле две прямые: вертикаль $x=1$ и биссектриса $y=x$. Все решения системы обязаны лежать на них.

Теперь первое уравнение. Если $a=0$, оно превращается в $5x+1=0$, то есть $x=-\dfrac{1}{5}$ — одинокая вертикальная прямая, и точек выходит максимум пара, четырёх никак. Значит, $a\ne 0$, а тогда коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ одинаковы (оба равны $a$) — перед нами окружность. Поделив на $a$ и выделив полные квадраты, получаем центр $\left(\dfrac{2a-5}{2a};\,-1\right)$ и $R^2=\dfrac{8a^2-24a+25}{4a^2}$. У трёхчлена $8a^2-24a+25$ дискриминант отрицателен ($576-800<0$), поэтому $R^2>0$ при любом $a\ne 0$ — окружность всегда настоящая.

Выходит, задача чисто геометрическая: окружность должна пересечь пару прямых $x=1$ и $y=x$ ровно в четырёх точках. Сами прямые встречаются в узле $(1;\,1)$. Чтобы точек было ровно четыре, окружность должна резать каждую прямую по двум точкам и при этом не проходить через узел $(1;\,1)$ — иначе две точки склеятся в одну и останется всего три.

Подставим $x=1$ в окружность: после упрощения $y^2+2y-1+\dfrac{6}{a}=0$. Два корня, когда дискриминант положителен: $2-\dfrac{6}{a}>0$. Это выполняется при $a<0$ или $a>3$.

Подставим $y=x$: получаем $2x^2+\dfrac{5}{a}x+\dfrac{1}{a}=0$ с дискриминантом $\dfrac{25-8a}{a^2}$; он положителен при $a<\dfrac{25}{8}$.

Проверим узел: подставив $(1;\,1)$ в первое уравнение, получаем $2a+6=0$, то есть окружность проходит через $(1;\,1)$ ровно при $a=-3$ — это значение выбрасываем.

Собираем всё: условие ($a<0$ или $a>3$), условие $a<\dfrac{25}{8}$, запрет $a\ne-3$ и $a\ne 0$. Для отрицательных $a$ выходит $(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,0)$, для положительных — $3