ID: 00022376
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} 4x-y+a=0, \\ 2|y|-x^2+4x=0 \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Из второго уравнения $2|y|=x^2-4x=x(x-4)$, то есть $|y|=\dfrac{x^2-4x}{2}$. Правая часть неотрицательна при $x\le0$ или $x\ge4$ — там и живёт кривая, $y=\pm\dfrac{x^2-4x}{2}$: две параболические дуги, склеенные в точках $(0;0)$ и $(4;0)$. Первое уравнение — прямая $y=4x+a$ наклона $4$.
Пересечение с верхней дугой $y=\dfrac{x^2-4x}{2}$: $8x+2a=x^2-4x$, то есть $x^2-12x-2a=0$, корни $x=6\pm\sqrt{36+2a}$. Корень $x_+=6+\sqrt{36+2a}\ge6$ подходит всегда; корень $x_-=6-\sqrt{36+2a}$ годится при $x_-\le0$ (это $a\ge0$) или $x_-\ge4$ (это $-18\le a\le-16$), а при $-16</p><p>Пересечение с нижней дугой$y=-\dfrac{x^2-4x}{2}$:$8x+2a=-x^2+4x$, то есть$x^2+4x+2a=0$, корни$x=-2\pm\sqrt{4-2a}$. Корень$x=-2-\sqrt{4-2a}\le-2$подходит всегда; корень$-2+\sqrt{4-2a}$годится при$a\ge0$или$a\le-16$, а при$-16
Складываем со склейками в точках $(0;0)$ (прямая через неё при $a=0$) и $(4;0)$ (при $a=-16$).
По промежуткам: при $a<-18$ — $0+2=2$; при $a=-18$ — $1+2=3$; при $-182$ — $2+0=2$.
Ровно два решения: $a<-18$, или $-162$. Проверка $a=3$: верхняя дуга — две точки, нижняя — пусто ($4-2a<0$), итого два, всё сходится.