Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022375

Из второго уравнения $|y|=x^2-2x=x(x-2)$. Правая часть неотрицательна при $x\le0$ или $x\ge2$ — только там живёт кривая, и $y=\pm(x^2-2x)$: две параболические дуги, склеенные в точках $(0;0)$ и $(2;0)$. Первое уравнение — прямая $y=4x+a$ с фиксированным наклоном $4$, которую параметр $a$ двигает вверх-вниз.

Пересечение с верхней дугой $y=x^2-2x$: $4x+a=x^2-2x$, то есть $x^2-6x-a=0$, корни $x=3\pm\sqrt{9+a}$ (нужны те, что в области $x\le0$ или $x\ge2$). Корень $x_+=3+\sqrt{9+a}\ge3$ подходит всегда; корень $x_-=3-\sqrt{9+a}$ попадает в область при $x_-\le0$ (это $a\ge0$) или $x_-\ge2$ (это $-9\le a\le-8$), а при $-8</p><p>Пересечение с нижней дугой$y=-(x^2-2x)$:$4x+a=-x^2+2x$, то есть$x^2+2x+a=0$, корни$x=-1\pm\sqrt{1-a}$. Корень$x=-1-\sqrt{1-a}\le-1$подходит всегда; корень$-1+\sqrt{1-a}$годится при$a\ge0$или$a\le-8$, а при$-8

Теперь аккуратно складываем, помня про склейки: точка $(0;0)$ общая для дуг (прямая проходит через неё при $a=0$), точка $(2;0)$ — тоже общая (при $a=-8$); там пара точек считается за одну.

По промежуткам: при $a&lt;-9$ — $0+2=2$; при $a=-9$ — $1+2=3$; при $-91$ — $2+0=2$.

Ровно два решения: $a&lt;-9$, или $-81$. Проверка $a=2$: верхняя дуга даёт две точки, нижняя — ни одной (дискриминант $1-a&lt;0$), итого две, всё сходится.