Из второго уравнения |y|=x^2-2x=x(x-2). Правая часть неотрицательна при x\le0 или x\ge2 — только там живёт кривая, и y=\pm(x^2-2x): две параболические дуги, склеенные в точках (0;0) и (2;0). Первое уравнение — прямая y=4x+a с фиксированным наклоном 4, которую параметр a двигает вверх-вниз.

Пересечение с верхней дугой y=x^2-2x: 4x+a=x^2-2x, то есть x^2-6x-a=0, корни x=3\pm\sqrt{9+a} (нужны те, что в области x\le0 или x\ge2). Корень x_+=3+\sqrt{9+a}\ge3 подходит всегда; корень x_-=3-\sqrt{9+a} попадает в область при x_-\le0 (это a\ge0) или x_-\ge2 (это -9\le a\le-8), а при -8</p><p>Пересечение с нижней дугойy=-(x^2-2x):4x+a=-x^2+2x, то естьx^2+2x+a=0, корниx=-1\pm\sqrt{1-a}. Кореньx=-1-\sqrt{1-a}\le-1подходит всегда; корень-1+\sqrt{1-a}годится приa\ge0илиa\le-8, а при-8

Теперь аккуратно складываем, помня про склейки: точка (0;0) общая для дуг (прямая проходит через неё при a=0), точка (2;0) — тоже общая (при a=-8); там пара точек считается за одну.

По промежуткам: при a&lt;-9 — 0+2=2; при a=-9 — 1+2=3; при -91 — 2+0=2.

Ровно два решения: a&lt;-9, или -81. Проверка a=2: верхняя дуга даёт две точки, нижняя — ни одной (дискриминант 1-a&lt;0), итого две, всё сходится.

Ответ: a\in(-\infty;\,-9)\cup(-8;\,0)\cup(1;\,+\infty).