Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022358

Слева и справа — арифметические корни, поэтому равенство $\sqrt{P} = \sqrt{Q}$ означает просто $P = Q$ при условии, что подкоренное выражение неотрицательно (достаточно потребовать $P \geq 0$, тогда и $Q = P \geq 0$). Условие области: $x^2 - a^2 \geq 0$, то есть $x^2 \geq a^2$.

Приравниваем подкоренные: $x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a + 2)x + 2a$. Переносим всё влево: $3x^2 - (4a + 2)x + a^2 + 2a = 0$. Дискриминант $D = (4a + 2)^2 - 12(a^2 + 2a) = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a - 1)^2$ — полный квадрат, корни будут «хорошие».

Корни: $x = \dfrac{(4a + 2) \pm 2(a - 1)}{6}$, то есть $x_1 = a$ и $x_2 = \dfrac{a + 2}{3}$. Теперь вспоминаем условие $x^2 \geq a^2$. Для $x_1 = a$ оно даёт $a^2 \geq a^2$ — верно всегда, значит $x = a$ — корень при любом $a$.

Для $x_2 = \dfrac{a + 2}{3}$ условие $\left(\dfrac{a + 2}{3}\right)^2 \geq a^2$ приводит к $(a + 2)^2 \geq 9a^2$, то есть $8a^2 - 4a - 4 \leq 0$, или $(2a + 1)(a - 1) \leq 0$. Отсюда $x_2$ — корень только при $-\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1$.

Нам нужно ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. Смотрим, кто туда попадает. Корень $x_1 = a$ лежит в $[0; 1]$ при $0 \leq a \leq 1$. Корень $x_2 = \dfrac{a + 2}{3}$ при допустимых $a \in [-\dfrac{1}{2}; 1]$ автоматически попадает в отрезок: он пробегает от $\dfrac{1}{2}$ (при $a = -\dfrac{1}{2}$) до $1$ (при $a = 1$).

Считаем по промежуткам. При $a < -\dfrac{1}{2}$ жив только $x_1 = a < 0$ — на отрезке ноль корней. При $-\dfrac{1}{2} \leq a < 0$ работает $x_2 \in [0{,}5; \dfrac{2}{3})$ — один корень (а $x_1 = a < 0$ мимо). При $a = 0$ на отрезок попадают сразу оба: $x_1 = 0$ и $x_2 = \dfrac{2}{3}$ — два корня, не подходит. При $0 < a < 1$ снова два корня. При $a = 1$ корни сливаются: $x_1 = x_2 = 1$ — один корень, годится. При $a > 1$ остаётся лишь $x_1 = a > 1$ — мимо отрезка.

Итого ровно один корень на $[0; 1]$ получается при $a \in [-\dfrac{1}{2}; 0) \cup \{1\}$. Проверка крайней точки $a = -\dfrac{1}{2}$: $x_2 = \dfrac{1}{2} \in [0; 1]$, $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ вне отрезка — ровно один корень, всё сходится.