Слева и справа — арифметические корни, поэтому равенство \sqrt{P} = \sqrt{Q} означает просто P = Q при условии, что подкоренное выражение неотрицательно (достаточно потребовать P \geq 0, тогда и Q = P \geq 0). Условие области: x^2 - a^2 \geq 0, то есть x^2 \geq a^2.

Приравниваем подкоренные: x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a + 2)x + 2a. Переносим всё влево: 3x^2 - (4a + 2)x + a^2 + 2a = 0. Дискриминант D = (4a + 2)^2 - 12(a^2 + 2a) = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a - 1)^2 — полный квадрат, корни будут «хорошие».

Корни: x = \dfrac{(4a + 2) \pm 2(a - 1)}{6}, то есть x_1 = a и x_2 = \dfrac{a + 2}{3}. Теперь вспоминаем условие x^2 \geq a^2. Для x_1 = a оно даёт a^2 \geq a^2 — верно всегда, значит x = a — корень при любом a.

Для x_2 = \dfrac{a + 2}{3} условие \left(\dfrac{a + 2}{3}\right)^2 \geq a^2 приводит к (a + 2)^2 \geq 9a^2, то есть 8a^2 - 4a - 4 \leq 0, или (2a + 1)(a - 1) \leq 0. Отсюда x_2 — корень только при -\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1.

Нам нужно ровно один корень на отрезке [0; 1]. Смотрим, кто туда попадает. Корень x_1 = a лежит в [0; 1] при 0 \leq a \leq 1. Корень x_2 = \dfrac{a + 2}{3} при допустимых a \in [-\dfrac{1}{2}; 1] автоматически попадает в отрезок: он пробегает от \dfrac{1}{2} (при a = -\dfrac{1}{2}) до 1 (при a = 1).

Считаем по промежуткам. При a < -\dfrac{1}{2} жив только x_1 = a < 0 — на отрезке ноль корней. При -\dfrac{1}{2} \leq a < 0 работает x_2 \in [0{,}5; \dfrac{2}{3}) — один корень (а x_1 = a < 0 мимо). При a = 0 на отрезок попадают сразу оба: x_1 = 0 и x_2 = \dfrac{2}{3} — два корня, не подходит. При 0 < a < 1 снова два корня. При a = 1 корни сливаются: x_1 = x_2 = 1 — один корень, годится. При a > 1 остаётся лишь x_1 = a > 1 — мимо отрезка.

Итого ровно один корень на [0; 1] получается при a \in [-\dfrac{1}{2}; 0) \cup \{1\}. Проверка крайней точки a = -\dfrac{1}{2}: x_2 = \dfrac{1}{2} \in [0; 1], x_1 = -\dfrac{1}{2} вне отрезка — ровно один корень, всё сходится.