Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022357

Схема та же, что и в родственном типе: слева арифметический корень, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, $x^2 + 4x - 8a \geq 0$, а равенство $\sqrt{A} = B$ равносильно $A = B^2$ вместе с этим условием знака.

Возводим в квадрат: $x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x - 8a)^2$. Правая часть равна $x^4 + 16x^2 + 64a^2 + 8x^3 - 16ax^2 - 64ax$. Сокращаем $x^4$ и $64a^2$ и приводим подобные: $8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0$.

Выносим $8x$ и группируем: $8x(x^2 + 4x - 2ax - 8a) = 8x\big(x(x + 4) - 2a(x + 4)\big) = 8x(x + 4)(x - 2a) = 0$. Три кандидата: $x = 0$, $x = -4$ и $x = 2a$.

Проверяем знак $B = x^2 + 4x - 8a$. В точке $x = 0$: $B = -8a$ (годится при $a \leq 0$). В точке $x = -4$: $B = 16 - 16 - 8a = -8a$ (годится при $a \leq 0$). В точке $x = 2a$: $B = 4a^2 + 8a - 8a = 4a^2 \geq 0$ — этот корень живёт всегда.

Для трёх различных корней нужно $a \leq 0$ (иначе жив лишь $x = 2a$). Осталось исключить слипания: $2a = 0$ при $a = 0$ и $2a = -4$ при $a = -2$ — в обоих случаях останется только два корня. Значит подходят все $a < 0$, кроме $a = -2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0)$. Проверка: при $a = -1$ корни $0,\ -4,\ -2$ — ровно три, всё сходится.