Схема та же, что и в родственном типе: слева арифметический корень, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, x^2 + 4x - 8a \geq 0, а равенство \sqrt{A} = B равносильно A = B^2 вместе с этим условием знака.

Возводим в квадрат: x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x - 8a)^2. Правая часть равна x^4 + 16x^2 + 64a^2 + 8x^3 - 16ax^2 - 64ax. Сокращаем x^4 и 64a^2 и приводим подобные: 8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0.

Выносим 8x и группируем: 8x(x^2 + 4x - 2ax - 8a) = 8x\big(x(x + 4) - 2a(x + 4)\big) = 8x(x + 4)(x - 2a) = 0. Три кандидата: x = 0, x = -4 и x = 2a.

Проверяем знак B = x^2 + 4x - 8a. В точке x = 0: B = -8a (годится при a \leq 0). В точке x = -4: B = 16 - 16 - 8a = -8a (годится при a \leq 0). В точке x = 2a: B = 4a^2 + 8a - 8a = 4a^2 \geq 0 — этот корень живёт всегда.

Для трёх различных корней нужно a \leq 0 (иначе жив лишь x = 2a). Осталось исключить слипания: 2a = 0 при a = 0 и 2a = -4 при a = -2 — в обоих случаях останется только два корня. Значит подходят все a < 0, кроме a = -2.

Ответ: a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0). Проверка: при a = -1 корни 0,\ -4,\ -2 — ровно три, всё сходится.