Перед нами уравнение с корнем: слева стоит арифметический квадратный корень, а значит вся правая часть обязана быть неотрицательной. Запомним это как главное условие: x^2 + 2x - 3a \geq 0. Само равенство \sqrt{A} = B при B \geq 0 равносильно A = B^2, поэтому возведём обе части в квадрат, а потом обязательно проверим знак правой части.

Возводим в квадрат: x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2. Раскроем правую часть: (x^2 + 2x - 3a)^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax. Слагаемые x^4 и 9a^2 есть и слева, они сократятся.

После сокращения получаем -4x^2 = 4x^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax, то есть 4x^3 + 8x^2 - 6ax^2 - 12ax = 0. Выносим общий множитель 2x: 2x(2x^2 + 4x - 3ax - 6a) = 0. В скобке группируем: 2x^2 + 4x - 3ax - 6a = 2x(x + 2) - 3a(x + 2) = (x + 2)(2x - 3a). Получилось красивое разложение: 2x(x + 2)(2x - 3a) = 0.

Значит, кандидатов в корни всего три: x = 0, x = -2 и x = \dfrac{3a}{2}. Но кандидат становится настоящим корнем только тогда, когда в нём правая часть B = x^2 + 2x - 3a неотрицательна. Проверяем каждый.

Подставляем x = 0: B = -3a, значит корень годится при a \leq 0. Подставляем x = -2: B = 4 - 4 - 3a = -3a — снова годится при a \leq 0. А вот x = \dfrac{3a}{2} даёт B = \dfrac{9a^2}{4} + 3a - 3a = \dfrac{9a^2}{4} \geq 0 при любом a. То есть третий кандидат — корень всегда, а первые два «включаются» только когда a \leq 0.

Нам нужно ровно три различных корня. Если a > 0, жив только x = \dfrac{3a}{2} — один корень, мало. Значит обязательно a \leq 0, тогда все три кандидата — корни, и остаётся следить лишь за тем, чтобы они не слиплись. Совпадения: \dfrac{3a}{2} = 0 при a = 0 (тогда корней всего два: 0 и -2) и \dfrac{3a}{2} = -2 при a = -\dfrac{4}{3} (тогда снова два корня: -2 и 0).

Поэтому годятся все отрицательные a, кроме a = -\dfrac{4}{3}; точку a = 0 тоже выкидываем. Ответ: a \in (-\infty; -\dfrac{4}{3}) \cup (-\dfrac{4}{3}; 0). Быстрая проверка: при a = -1 корни 0,\ -2,\ -1{,}5 — ровно три штуки, всё сходится.