ID: 00022356
Источник: ФИПИ
Перед нами уравнение с корнем: слева стоит арифметический квадратный корень, а значит вся правая часть обязана быть неотрицательной. Запомним это как главное условие: $x^2 + 2x - 3a \geq 0$. Само равенство $\sqrt{A} = B$ при $B \geq 0$ равносильно $A = B^2$, поэтому возведём обе части в квадрат, а потом обязательно проверим знак правой части.
Возводим в квадрат: $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2$. Раскроем правую часть: $(x^2 + 2x - 3a)^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax$. Слагаемые $x^4$ и $9a^2$ есть и слева, они сократятся.
После сокращения получаем $-4x^2 = 4x^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax$, то есть $4x^3 + 8x^2 - 6ax^2 - 12ax = 0$. Выносим общий множитель $2x$: $2x(2x^2 + 4x - 3ax - 6a) = 0$. В скобке группируем: $2x^2 + 4x - 3ax - 6a = 2x(x + 2) - 3a(x + 2) = (x + 2)(2x - 3a)$. Получилось красивое разложение: $2x(x + 2)(2x - 3a) = 0$.
Значит, кандидатов в корни всего три: $x = 0$, $x = -2$ и $x = \dfrac{3a}{2}$. Но кандидат становится настоящим корнем только тогда, когда в нём правая часть $B = x^2 + 2x - 3a$ неотрицательна. Проверяем каждый.
Подставляем $x = 0$: $B = -3a$, значит корень годится при $a \leq 0$. Подставляем $x = -2$: $B = 4 - 4 - 3a = -3a$ — снова годится при $a \leq 0$. А вот $x = \dfrac{3a}{2}$ даёт $B = \dfrac{9a^2}{4} + 3a - 3a = \dfrac{9a^2}{4} \geq 0$ при любом $a$. То есть третий кандидат — корень всегда, а первые два «включаются» только когда $a \leq 0$.
Нам нужно ровно три различных корня. Если $a > 0$, жив только $x = \dfrac{3a}{2}$ — один корень, мало. Значит обязательно $a \leq 0$, тогда все три кандидата — корни, и остаётся следить лишь за тем, чтобы они не слиплись. Совпадения: $\dfrac{3a}{2} = 0$ при $a = 0$ (тогда корней всего два: $0$ и $-2$) и $\dfrac{3a}{2} = -2$ при $a = -\dfrac{4}{3}$ (тогда снова два корня: $-2$ и $0$).
Поэтому годятся все отрицательные $a$, кроме $a = -\dfrac{4}{3}$; точку $a = 0$ тоже выкидываем. Ответ: $a \in (-\infty; -\dfrac{4}{3}) \cup (-\dfrac{4}{3}; 0)$. Быстрая проверка: при $a = -1$ корни $0,\ -2,\ -1{,}5$ — ровно три штуки, всё сходится.