Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение ln левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 6x плюс 6a минус a в квадрате конец аргумента равно 0 имеет ровно один корень на отрезке левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка .

левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 23, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00022355

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$ .

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Произведение ноль — значит ноль либо логарифм, либо корень. ОДЗ: под логарифмом $4x-1>0$ , то есть $x>\dfrac{1}{4}$ ; под корнем $x^2-6x+6a-a^2\ge0$ .

1) $\ln(4x-1)=0$ значит $4x-1=1$ , откуда $x=\dfrac{1}{2}$ . Эта точка годится, если под корнем неотрицательно: $\dfrac{1}{4}-3+6a-a^2=-\dfrac{11}{4}+6a-a^2\ge0$ , то есть $a^2-6a+\dfrac{11}{4}\le0$ . Корни этого квадратного трёхчлена $a=\dfrac{1}{2}$ и $a=\dfrac{11}{2}$ , значит $x=\dfrac{1}{2}$ работает при $\dfrac{1}{2}\le a\le\dfrac{11}{2}$ .

2) $\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ значит $x^2-6x+6a-a^2=0$ . Разложим: сумма корней $6$ , произведение $6a-a^2=a(6-a)$ , поэтому $x=a$ или $x=6-a$ . Но в этих точках должен существовать логарифм: $4x-1>0$ , то есть $x>\dfrac{1}{4}$ . Отсюда $x=a$ годится при $\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}$ и $6-a\le3$ , то есть $3\le a<\dfrac{23}{4}$ .

Собираем корни на $[0;3]$ :

• при $a\le\dfrac{1}{4}$ ни один множитель корня не даёт: $0$ корней;

• при $\dfrac{1}{4}• при$ a=\dfrac{1}{2} $корень$ x=a=\dfrac{1}{2} $совпадает с логарифмным$ x=\dfrac{1}{2} $: ровно один — годится;• при$ \dfrac{1}{2}

• при $a=3$ есть $x=\dfrac{1}{2}$ и $x=a=6-a=3$ : два корня — не годится;

• при $3• при$ a=\dfrac{11}{2} $корень$ x=6-a=\dfrac{1}{2} $совпал с логарифмным$ x=\dfrac{1}{2} $: ровно один — годится;• при$ \dfrac{11}{2}\dfrac{11}{2} $), остаётся только$ x=6-a\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right) $: ровно один — годится;• при$ a\ge\dfrac{23}{4} $точка$ x=6-a\le\dfrac{1}{4} $вне ОДЗ логарифма:$ 0 $корней.Ответ:$ a\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\dfrac{23}{4}\right) $. Границы: при$ a=\dfrac{1}{2} $и$ a=\dfrac{11}{2} $два корня склеиваются в$ \dfrac{1}{2} $— остаётся один, берём; при$ a=\dfrac{1}{4} $и$ a=\dfrac{23}{4}$ корень выпадает из ОДЗ логарифма — не берём. Всё сходится.

Ответ

\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{11}{2};\dfrac{23}{4}\right)