Произведение равно нулю — ноль либо корень, либо логарифм. ОДЗ: под корнем 7x-4\ge0, то есть x\ge\dfrac{4}{7} (на [0;4] остаётся \left[\dfrac{4}{7};4\right]), и аргумент логарифма x^2-8x+17-a^2>0.

1) \sqrt{7x-4}=0 даёт x=\dfrac{4}{7}. Логарифм там определён, если \left(\dfrac{4}{7}\right)^2-8\cdot\dfrac{4}{7}+17-a^2=\dfrac{16}{49}-\dfrac{32}{7}+17-a^2=\dfrac{625}{49}-a^2>0, то есть |a|<\dfrac{25}{7}.

2) \ln(\ldots)=0 значит x^2-8x+17-a^2=1, то есть x^2-8x+16=a^2, или (x-4)^2=a^2. Отсюда x=4-a или x=4+a (аргумент там равен 1>0). Загоняем в \left[\dfrac{4}{7};4\right]: x=4-a при 0\le a\le\dfrac{24}{7}; x=4+a при -\dfrac{24}{7}\le a\le0.

Задача симметрична по знаку a, разберём a\ge0:

• при a=0 есть x=\dfrac{4}{7} и x=4 (корни 4\pm a слились): два корня — не годится;

• при 0</p><p>• приa=\dfrac{24}{7}кореньx=4-a=\dfrac{4}{7}совпал с первым, аx=4+aвне отрезка: ровно один — годится;</p><p>• при\dfrac{24}{7}

• при a\ge\dfrac{25}{7} точка \dfrac{4}{7} вне ОДЗ логарифма: 0 корней.

Для a\ge0 подходит \left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right), по симметрии для a\le0 — \left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right].

Ответ: a\in\left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right]\cup\left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right). Границы: при a=\dfrac{24}{7} два корня склеились в \dfrac{4}{7} — берём; при a=\dfrac{25}{7} логарифм в точке \dfrac{4}{7} умирает — не берём. Всё сходится.