Произведение равно нулю — значит ноль либо корень, либо логарифм. ОДЗ: под корнем 4x-1\ge0, то есть x\ge\dfrac{1}{4} (на [0;1] остаётся \left[\dfrac{1}{4};1\right]), и аргумент логарифма x^2-2x+2-a^2>0.

1) \sqrt{4x-1}=0 даёт x=\dfrac{1}{4}. Логарифм там определён, если \left(\dfrac{1}{4}\right)^2-2\cdot\dfrac{1}{4}+2-a^2=\dfrac{25}{16}-a^2>0, то есть |a|<\dfrac{5}{4}.

2) \ln(\ldots)=0 значит x^2-2x+2-a^2=1, то есть x^2-2x+1=a^2, или (x-1)^2=a^2. Отсюда x=1-a или x=1+a (аргумент в этих точках равен 1>0 — законно). Загоняем в \left[\dfrac{1}{4};1\right]: x=1-a\in\left[\dfrac{1}{4};1\right] при 0\le a\le\dfrac{3}{4}; x=1+a\in\left[\dfrac{1}{4};1\right] при -\dfrac{3}{4}\le a\le0.

Задача симметрична по знаку a (везде стоит либо a^2, либо пара 1\pm a), поэтому разберём a\ge0, а для a<0 ответ отразим.

• при a=0 есть x=\dfrac{1}{4} и x=1 (корни 1\pm a слились в 1): два корня — не годится;

• при 0</p><p>• приa=\dfrac{3}{4}кореньx=1-a=\dfrac{1}{4}совпал с первым, аx=1+aвне отрезка: ровно один — годится;</p><p>• при\dfrac{3}{4}1вне отрезка, остаётсяx=\dfrac{1}{4}: ровно один — годится;</p><p>• приa\ge\dfrac{5}{4}точка\dfrac{1}{4}вне ОДЗ (ведь\dfrac{25}{16}-a^2\le0):0корней.</p><p>Дляa\ge0подходит\left[\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right), а по симметрии дляa\le0—\left(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{3}{4}\right].</p><p>Ответ:a\in\left(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right). Границы: приa=\dfrac{3}{4}два корня склеились в\dfrac{1}{4}— один, берём; приa=\dfrac{5}{4}логарифм в точке\dfrac{1}{4}$ умирает — не берём. Всё сходится.