Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: x плюс 2a конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка равно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на ln левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка имеет ровно один корень на отрезке левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .

левая { минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая } объединение левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00022352

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Здесь общий множитель — логарифм $\ln(x-a)$ . Переносим и выносим: $\ln(x-a)\bigl(\sqrt{x+2a}-(x-1)\bigr)=0$ . ОДЗ: под корнем $x+2a\ge0$ , под логарифмом $x-a>0$ .

Первый множитель: $\ln(x-a)=0$ , значит $x-a=1$ , откуда $x=a+1$ . Нужно, чтобы корень существовал: $x+2a\ge0$ , то есть $(a+1)+2a=3a+1\ge0$ , откуда $a\ge-\dfrac{1}{3}$ . В отрезок $[0;1]$ : $0\le a+1\le1$ , то есть $-1\le a\le0$ . Вместе $x=a+1$ работает при $-\dfrac{1}{3}\le a\le0$ .

Второй множитель: $\sqrt{x+2a}=x-1$ . Корень слева неотрицателен, а на $[0;1]$ правая часть $x-1\le0$ . Равенство возможно, только когда обе части равны нулю: $x-1=0$ и $x+2a=0$ , то есть $x=1$ и $a=-\dfrac{1}{2}$ . Проверяем ОДЗ логарифма: $x-a=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}>0$ — законно. Значит этот множитель даёт корень $x=1$ ровно при $a=-\dfrac{1}{2}$ .

Считаем:

• при $a<-\dfrac{1}{2}$ первый корень вне ОДЗ (ведь $a<-\dfrac{1}{3}$ ), второго нет: $0$ корней;

• при $a=-\dfrac{1}{2}$ первого корня нет, но второй даёт $x=1$ : ровно один — годится;

• при $-\dfrac{1}{2}• при$ -\dfrac{1}{3}\le a\le0 $работает только$ x=a+1 $(второго корня нет, ведь$ a\ne-\dfrac{1}{2} $): ровно один — годится;• при$ a>0 $точка$ x=a+1>1 $вне отрезка, второго нет:$ 0 $корней.Ответ:$ a\in\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\cup\left[-\dfrac{1}{3};0\right] $. Проверим концы: при$ a=-\dfrac{1}{3} $корень$ x=\dfrac{2}{3} $, под корнем ровно ноль — законно, берём; при$ a=0 $корень$ x=1 $— берём; отдельная точка$ a=-\dfrac{1}{2} $даёт единственный корень$ x=1$ из второго множителя. Всё сходится.

Ответ

\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\cup\left[-\dfrac{1}{3};0\right]