Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: 2x минус 1 конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 4x минус a правая круглая скобка равно корень из: начало аргумента: 2x минус 1 конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 5x плюс a правая круглая скобка имеет ровно один корень на отрезке левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .

левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка объединение левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; 2 правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00022351

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Общий множитель — корень $\sqrt{2x-1}$ . Выносим: $\sqrt{2x-1}\bigl(\ln(4x-a)-\ln(5x+a)\bigr)=0$ . ОДЗ: $2x-1\ge0$ , то есть $x\ge\dfrac{1}{2}$ — на $[0;1]$ остаётся отрезок $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ . И логарифмы: $4x-a>0$ , $5x+a>0$ .

Первый множитель: $\sqrt{2x-1}=0$ даёт $x=\dfrac{1}{2}$ . Логарифмы там: $2-a>0$ и $\dfrac{5}{2}+a>0$ , то есть $-\dfrac{5}{2}Второй множитель:$ \ln(4x-a)=\ln(5x+a) $, значит$ 4x-a=5x+a $, откуда$ x=-2a $. В этой точке оба аргумента равны$ -9a $, логарифм существует при$ -9a>0 $, то есть$ a<0 $. Корень в$ \left[\dfrac{1}{2};1\right] $: из$ -2a\ge\dfrac{1}{2} $выходит$ a\le-\dfrac{1}{4} $, из$ -2a\le1 $выходит$ a\ge-\dfrac{1}{2} $. Значит$ x=-2a $работает при$ -\dfrac{1}{2}\le a\le-\dfrac{1}{4} $.Склейка при$ -2a=\dfrac{1}{2} $, то есть при$ a=-\dfrac{1}{4} $.• при$ a\le-\dfrac{5}{2} $точка$ x=\dfrac{1}{2} $вне ОДЗ, второго нет:$ 0 $корней;• при$ -\dfrac{5}{2}

• при $a=-\dfrac{1}{2}$ есть и $x=\dfrac{1}{2}$ , и $x=-2a=1$ : два корня — не годится;

• при $-\dfrac{1}{2}• при$ a=-\dfrac{1}{4} $корни слились в$ x=\dfrac{1}{2} $: ровно один — годится;• при$ -\dfrac{1}{4}

• при $a\ge2$ точка $x=\dfrac{1}{2}$ вне ОДЗ (ведь $4x-a\le0$ ): $0$ корней.

Ответ: $a\in\left(-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left[-\dfrac{1}{4};2\right)$ . Границы: при $a=-\dfrac{1}{2}$ корней два — не берём (скобка открытая); при $a=-\dfrac{1}{4}$ склейка — один корень, берём; при $a=2$ первый логарифм умирает — не берём. Всё сходится.

Ответ

\left(-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left[-\dfrac{1}{4};2\right)