Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: 2 минус 3x конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 16x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка равно корень из: начало аргумента: 2 минус 3x конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 4x плюс a правая круглая скобка имеет ровно один корень на отрезке левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .

левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00022350

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{2-3x}\cdot\ln\left(16x^2-a^2\right)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Снова слева и справа общий множитель — на этот раз корень $\sqrt{2-3x}$ . Переносим и выносим: $\sqrt{2-3x}\bigl(\ln(16x^2-a^2)-\ln(4x+a)\bigr)=0$ . Сразу ОДЗ: под корнем $2-3x\ge0$ , то есть $x\le\dfrac{2}{3}$ — значит на $[0;1]$ реально живёт только кусок $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$ . Плюс оба логарифма положительны: $16x^2-a^2>0$ и $4x+a>0$ .

Первый множитель: $\sqrt{2-3x}=0$ даёт $x=\dfrac{2}{3}$ . Годится, если логарифмы в этой точке определены: $16\cdot\dfrac{4}{9}-a^2=\dfrac{64}{9}-a^2>0$ и $\dfrac{8}{3}+a>0$ , то есть $-\dfrac{8}{3}Второй множитель:$ \ln(16x^2-a^2)=\ln(4x+a) $, значит$ 16x^2-a^2=4x+a $. Слева раскладывается:$ 16x^2-a^2=(4x-a)(4x+a) $. Получаем$ (4x+a)(4x-a)=(4x+a) $, то есть$ (4x+a)(4x-a-1)=0 $. Но в ОДЗ$ 4x+a>0 $, поэтому остаётся$ 4x-a-1=0 $, откуда$ x=\dfrac{a+1}{4} $. В этой точке$ 4x+a=2a+1 $, логарифм существует при$ 2a+1>0 $, то есть$ a>-\dfrac{1}{2} $. И корень должен попасть в$ \left[0;\dfrac{2}{3}\right] $: условие$ x\le\dfrac{2}{3} $даёт$ a\le\dfrac{5}{3} $, а$ x\ge0 $уже обеспечено. Значит$ x=\dfrac{a+1}{4} $работает при$ -\dfrac{1}{2}

Заметим склейку: при $a=\dfrac{5}{3}$ второй корень $x=\dfrac{a+1}{4}=\dfrac{2}{3}$ совпадает с первым.

• при $a\le-\dfrac{8}{3}$ первый корень вне ОДЗ, второго нет: $0$ корней;

• при $-\dfrac{8}{3}• при$ -\dfrac{1}{2}

• при $a=\dfrac{5}{3}$ корни слились в $x=\dfrac{2}{3}$ : ровно один — годится;

• при $\dfrac{5}{3}• при$ a\ge\dfrac{8}{3} $точка$ \dfrac{2}{3} $вне ОДЗ (ведь$ 16x^2-a^2\le0 $):$ 0 $корней.Ответ:$ a\in\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3}\right) $. Границы: при$ a=-\dfrac{1}{2} $второй логарифм умирает — остаётся один корень, берём точку$ -\dfrac{1}{2} $; при$ a=-\dfrac{8}{3} $и$ a=\dfrac{8}{3} $корней нет — не берём; при$ a=\dfrac{5}{3}$ склейка даёт один корень — берём. Всё сходится.

Ответ

\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3}\right)