Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022333

Долги на июль каждого года заданы таблицей, поэтому платёж года удобно считать как разницу: (долг после январского роста) − (долг на июль по таблице). Ставка тут $15\%$, то есть умножаем на $1{,}15$.

Первый год (к июлю 2017). В июле 2016 долг $S$. В январе 2017 он растёт до $1{,}15S$. По таблице к июлю должен остаться $0{,}8S$, значит, платёж равен $1{,}15S - 0{,}8S = 0{,}35S$.

Второй год (к июлю 2018). В июле 2017 долг $0{,}8S$. В январе он превращается в $1{,}15 \cdot 0{,}8S = 0{,}92S$. Надо опуститься до $0{,}5S$, поэтому платёж равен $0{,}92S - 0{,}5S = 0{,}42S$.

Третий год (к июлю 2019). В июле 2018 долг $0{,}5S$. В январе он становится $1{,}15 \cdot 0{,}5S = 0{,}575S$, а к июлю кредит гасится полностью. Платёж равен $0{,}575S$.

Три платежа: $0{,}35S$; $0{,}42S$; $0{,}575S$. Теперь внимание — самый большой платёж здесь последний, $0{,}575S$ (проценты капают всё медленнее, но и долг падает, и именно в третий год «тело» большое относительно остатка). Достаточно потребовать $0{,}575S < 4$, откуда $S < \dfrac{4}{0{,}575} \approx 6{,}96$.

$S$ — целое, наибольшее подходящее значение $S = 6$. Проверим: при $S = 6$ платежи равны $0{,}35 \cdot 6 = 2{,}1$; $0{,}42 \cdot 6 = 2{,}52$; $0{,}575 \cdot 6 = 3{,}45$ млн — все меньше $4$. А при $S = 7$ последний платёж $0{,}575 \cdot 7 = 4{,}025$ млн уже больше $4$. Всё сходится, ответ $S = 6$.