Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022332

Здесь график погашения задан таблицей, так что модель напрашивается сама: считаем платёж каждого года как разницу двух долгов — того, что получился после январского роста, и того, что должен остаться в июле. Один платёж за год = (долг после начисления процентов в январе) − (долг на июль по таблице).

Первый год (к июлю 2017). В июле 2016 долг равен $S$. В январе 2017 он вырастает на $30\%$ и становится $1{,}3S$. По таблице к июлю должен остаться $0{,}6S$, поэтому платёж равен $1{,}3S - 0{,}6S = 0{,}7S$.

Второй год (к июлю 2018). В июле 2017 долг $0{,}6S$. В январе он превращается в $1{,}3 \cdot 0{,}6S = 0{,}78S$. По таблице надо опуститься до $0{,}25S$, значит, платёж равен $0{,}78S - 0{,}25S = 0{,}53S$.

Третий год (к июлю 2019). В июле 2018 долг $0{,}25S$. В январе он становится $1{,}3 \cdot 0{,}25S = 0{,}325S$, а к июлю кредит гасится полностью (долг $0$). Платёж равен $0{,}325S$.

Итак, три платежа: $0{,}7S$; $0{,}53S$; $0{,}325S$. Самый большой из них — первый, $0{,}7S$. Если наибольший платёж меньше $5$ млн, то и остальные тем более. Значит, достаточно потребовать $0{,}7S < 5$, откуда $S < \dfrac{5}{0{,}7} = 7\dfrac{1}{7} \approx 7{,}14$.

$S$ — целое, наибольшее подходящее значение $S = 7$. Проверим: при $S = 7$ платежи равны $0{,}7 \cdot 7 = 4{,}9$; $0{,}53 \cdot 7 = 3{,}71$; $0{,}325 \cdot 7 = 2{,}275$ млн — все меньше $5$. А при $S = 8$ первый платёж $0{,}7 \cdot 8 = 5{,}6$ млн уже больше $5$. Всё сходится, ответ $S = 7$.