Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022328

Строим модель. Пусть кредит равен $S$ млн рублей ($S$ — целое). В середине каждого года долг возрастает на $20\%$, то есть умножается на $1{,}2$.

В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик платит только проценты и оставляет долг равным $S$. За год долг вырастает до $1{,}2S$, а платёж возвращает его к $S$: платёж $= 1{,}2S - S = 0{,}2S$. Так три года подряд, всего $3\cdot 0{,}2S = 0{,}6S$.

В конце 4-го и 5-го годов выплаты одинаковы, обозначим их $y$. К началу 4-го года долг $S$.

Год 4: середина — долг $1{,}2S$, платёж $y$, остаётся $1{,}2S - y$.

Год 5: середина — долг $(1{,}2S - y)\cdot 1{,}2$, платёж $y$ гасит всё: $(1{,}2S - y)\cdot 1{,}2 = y$, то есть $1{,}44S = 2{,}2y$, $y = \dfrac{1{,}44S}{2{,}2} = \dfrac{36S}{55}$.

Общая сумма выплат: $0{,}6S + 2y = 0{,}6S + \dfrac{72S}{55} = \dfrac{33S}{55} + \dfrac{72S}{55} = \dfrac{105S}{55} = \dfrac{21S}{11}$.

По условию она меньше $7$ млн: $\dfrac{21S}{11} < 7$, отсюда $S < \dfrac{77}{21} = \dfrac{11}{3} \approx 3{,}67$. Наибольшее целое $S = 3$.

Проверим: при $S = 3$ сумма выплат $\dfrac{21\cdot 3}{11} = \dfrac{63}{11} \approx 5{,}73$ млн $< 7$ — подходит; при $S = 4$ было бы $\dfrac{84}{11} \approx 7{,}64 > 7$ — уже нельзя. Значит, наибольший размер кредита $3$ млн рублей, то есть $3\,000\,000$ рублей.