Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022325

Снова две «лесенки» с разными шагами, но промежуточный долг в июле 2030 не задан — его придётся найти. Кредит $1400$ тыс. (июль 2025). На первом участке (июли 2026–2030) долг падает равными шагами $d_1$, на втором (июли 2031–2035) — равными шагами $d_2$. Обозначим долг в июле 2030 буквой $M$; тогда $M = 1400 - 5d_1$, а на втором участке от $M$ до нуля за $5$ шагов: $M = 5d_2$, то есть $d_2 = \dfrac{M}{5}$.

Общая сумма выплат = тело ($1400$) плюс проценты. Каждый январь $10\%$ начисляются на долг предыдущего июля. За $10$ лет это долги июлей 2025–2034: $1400$; $1400-d_1$; $\dots$; $1400-4d_1$; затем $M$; $M-d_2$; $M-2d_2$; $M-3d_2$; $M-4d_2$.

Сумма первой пятёрки (2025–2029): $5 \cdot 1400 - 10d_1 = 7000 - 10d_1$. Долг 2030 года — это $M$. Сумма четвёрки 2031–2034: $4M - 10d_2 = 4M - 10 \cdot \dfrac{M}{5} = 4M - 2M = 2M$. Значит, годы 2030–2034 дают $M + 2M = 3M$, и вся сумма долгов равна $7000 - 10d_1 + 3M$.

Из $M = 1400 - 5d_1$ получаем $10d_1 = 2(1400 - M) = 2800 - 2M$. Подставляем: сумма долгов $= 7000 - (2800 - 2M) + 3M = 4200 + 5M$. Проценты равны $0{,}1(4200 + 5M) = 420 + 0{,}5M$, и общая сумма выплат $= 1400 + 420 + 0{,}5M = 1820 + 0{,}5M$.

По условию это $2120$ тыс.: $1820 + 0{,}5M = 2120$, откуда $0{,}5M = 300$ и $M = 600$. Тогда $1400 - 5d_1 = 600$, значит, $5d_1 = 800$ и $d_1 = 160$.

Платёж 2026 года = (долг после января 2026) − (долг на июль 2026). В июле 2025 долг $1400$, в январе 2026 он растёт до $1{,}1 \cdot 1400 = 1540$, а к июлю 2026 должен стать $1400 - 160 = 1240$. Платёж равен $1540 - 1240 = 300$ тыс. рублей, то есть $300\,000$ рублей.

Проверим: при $d_1 = 160$, $M = 600$, $d_2 = 120$ долги июлей 2025–2034 равны $1400, 1240, 1080, 920, 760, 600, 480, 360, 240, 120$; их сумма $7200$, проценты $0{,}1 \cdot 7200 = 720$, плюс тело $1400$ — ровно $2120$ тыс. Всё сходится.