Вклады

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00022324

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на

1\%

по сравнению с концом предыдущего месяца; • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; • 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; • 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей; • к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Сколько рублей планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Дифференцированная схема с равным шагом $$d$$ , который пока неизвестен. Обозначим сумму кредита $$S$$ тыс. рублей. Долги на 15-е числа: $$S$$ ; $$S-d$$ ; $$S-2d$$ ; $\dots$ ; на 15-е число 10-го месяца долг равен $$S - 10d$$ . По условию этот долг равен $$300$$ тыс., значит, $$S - 10d = 300$$ , откуда $d = \dfrac{S - 300}{10}$ . К 15-му числу 11-го месяца долг гасится в ноль.

Общая сумма выплат = тело плюс проценты. Тело — $$S$$ тыс. Проценты: каждый месяц $1\%$ от долга на 15-е число прошлого месяца. За все $$11$$ месяцев это долги $$S$$ ; $$S-d$$ ; $\dots$ ; $$S-10d$$ — $$11$$ слагаемых. Их сумма: $11S - d(1 + 2 + \dots + 10) = 11S - 55d$ .

Проценты равны $$0{,}01(11S - 55d) = 0{,}11S - 0{,}55d$$ . Общая сумма выплат $$= S + 0{,}11S - 0{,}55d = 1{,}11S - 0{,}55d$$ .

Подставим $d = \dfrac{S - 300}{10}$ : тогда $$0{,}55d = 0{,}055(S - 300) = 0{,}055S - 16{,}5$$ , и общая сумма выплат равна $$1{,}11S - 0{,}055S + 16{,}5 = 1{,}055S + 16{,}5$$ . По условию это $$1388$$ тыс.: $$1{,}055S + 16{,}5 = 1388$$ , откуда $$1{,}055S = 1371{,}5$$ и $$S = 1300$$ .

Значит, кредит равен $$1300$$ тыс. рублей, то есть $1\,300\,000$ рублей. Проверим: при $$S = 1300$$ шаг $d = \dfrac{1300 - 300}{10} = 100$ , проценты равны $0{,}01(11 \cdot 1300 - 55 \cdot 100) = 0{,}01 \cdot 8800 = 88$ тыс., плюс тело $$1300$$ тыс. — ровно $$1388$$ тыс. Всё сходится.

Ответ

1300000

Другие задания по теме «Вклады» (8)