ID: 00022323
Источник: ФИПИ
Задача на общую сумму выплат при дифференцированной схеме. Пусть кредит взят на $n$ лет. Строим модель: долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же сумму, значит, за год гасится $\dfrac{5}{n}$ млн, и долги по июлям образуют лесенку: $5$; $5 - \dfrac{5}{n}$; $\dots$; $\dfrac{5}{n}$; $0$.
Из чего складывается общая сумма выплат? Во-первых, мы возвращаем весь долг — $5$ млн. Во-вторых, платим все проценты: каждый январь банк начисляет $20\%$ на текущий долг. Проценты за все годы: $0{,}2\left(5 + 5 \cdot \dfrac{n-1}{n} + \dots + 5 \cdot \dfrac{1}{n}\right) = 0{,}2 \cdot \dfrac{5}{n} \cdot (n + (n-1) + \dots + 1) = 0{,}2 \cdot \dfrac{5}{n} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = 0{,}5(n+1)$.
Итак, общая сумма выплат: $5 + 0{,}5(n+1)$. По условию она равна $7{,}5$ млн: $5 + 0{,}5(n+1) = 7{,}5$, откуда $0{,}5(n+1) = 2{,}5$, $n + 1 = 5$, $n = 4$.
Проверим: при $n = 4$ годовое погашение равно $5 : 4 = 1{,}25$ млн, долги по июлям — $5$; $3{,}75$; $2{,}5$; $1{,}25$. Проценты: $0{,}2 \cdot (5 + 3{,}75 + 2{,}5 + 1{,}25) = 0{,}2 \cdot 12{,}5 = 2{,}5$ млн. Вместе с телом: $5 + 2{,}5 = 7{,}5$ млн — всё сходится.