Вклады

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00022323

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на

20\%

по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит

$7{,}5$

млн рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Задача на общую сумму выплат при дифференцированной схеме. Пусть кредит взят на $$n$$ лет. Строим модель: долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же сумму, значит, за год гасится $\dfrac{5}{n}$ млн, и долги по июлям образуют лесенку: $$5$$ ; $5 - \dfrac{5}{n}$ ; $\dots$ ; $\dfrac{5}{n}$ ; $$0$$ .

Из чего складывается общая сумма выплат? Во-первых, мы возвращаем весь долг — $$5$$ млн. Во-вторых, платим все проценты: каждый январь банк начисляет $20\%$ на текущий долг. Проценты за все годы: $0{,}2\left(5 + 5 \cdot \dfrac{n-1}{n} + \dots + 5 \cdot \dfrac{1}{n}\right) = 0{,}2 \cdot \dfrac{5}{n} \cdot (n + (n-1) + \dots + 1) = 0{,}2 \cdot \dfrac{5}{n} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = 0{,}5(n+1)$ .

Итак, общая сумма выплат: $$5 + 0{,}5(n+1)$$ . По условию она равна $$7{,}5$$ млн: $$5 + 0{,}5(n+1) = 7{,}5$$ , откуда $$0{,}5(n+1) = 2{,}5$$ , $$n + 1 = 5$$ , $$n = 4$$ .

Проверим: при $$n = 4$$ годовое погашение равно $$5 : 4 = 1{,}25$$ млн, долги по июлям — $$5$$ ; $$3{,}75$$ ; $$2{,}5$$ ; $$1{,}25$$ . Проценты: $0{,}2 \cdot (5 + 3{,}75 + 2{,}5 + 1{,}25) = 0{,}2 \cdot 12{,}5 = 2{,}5$ млн. Вместе с телом: $$5 + 2{,}5 = 7{,}5$$ млн — всё сходится.

Ответ

Другие задания по теме «Вклады» (8)