Вклады

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00022322

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на

r\%

по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшую возможную ставку

$r$

, если известно, что последний платёж будет не менее

$0{,}92$

млн рублей.

Источник: ФИПИ

Решение

Кредит гасится равными уменьшениями долга по июлям. Строим модель: $$8$$ млн рублей за $$10$$ лет — значит, каждый год долг на начало июля становится меньше на $$8 : 10 = 0{,}8$$ млн рублей. Лесенка долгов по июлям: $$8$$ ; $$7{,}2$$ ; $$6{,}4$$ ; $\dots$ ; $$0{,}8$$ ; $$0$$ .

Платёж одного года: пусть в прошлый июль долг был $$d$$ млн. В январе банк начисляет $r\%$ , долг становится $d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$ . Мы платим $$X$$ , после чего долг равен $$d - 0{,}8$$ . Значит, $X = d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) - (d - 0{,}8) = 0{,}8 + \dfrac{r}{100} \cdot d$ : постоянное «тело» плюс проценты на текущий долг.

Долги убывают, поэтому убывают и платежи — самый маленький платёж последний. Перед десятым годом долг равен $$0{,}8$$ млн, и последний платёж равен $0{,}8\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$ .

По условию он не менее $$0{,}92$$ млн: $0{,}8\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) \geqslant 0{,}92$ . Делим на $$0{,}8$$ : $1 + \dfrac{r}{100} \geqslant 1{,}15$ , откуда $r \geqslant 15$ . Наименьшая возможная ставка — $$r = 15$$ .

Проверим: при $$r = 15$$ последний платёж равен $0{,}8 \cdot 1{,}15 = 0{,}92$ млн — точно на границе «не менее». Всё сходится.

Ответ

Другие задания по теме «Вклады» (8)