Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022321

Здесь кредит гасится равными уменьшениями долга по июлям — классическая дифференцированная схема, только шаг не месяц, а год. Строим модель: $7$ млн рублей за $10$ лет — значит, каждый год долг на начало июля меньше прошлогоднего на $7 : 10 = 0{,}7$ млн рублей. Лесенка долгов по июлям: $7$; $6{,}3$; $5{,}6$; $\dots$; $0{,}7$; $0$.

Разберём платёж одного года. Пусть в прошлый июль долг был $d$ млн. В январе банк начисляет $r\%$ — долг становится $d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$. С февраля по июнь мы вносим платёж $X$, после которого долг равен $d - 0{,}7$. Отсюда $X = d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) - (d - 0{,}7) = 0{,}7 + \dfrac{r}{100} \cdot d$.

Долг $d$ с каждым годом уменьшается, значит, и платежи убывают: самый маленький — последний. Перед последним, десятым годом долг равен $0{,}7$ млн, поэтому последний платёж: $0{,}7 + \dfrac{r}{100} \cdot 0{,}7 = 0{,}7\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$.

По условию он не менее $0{,}819$ млн: $0{,}7\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) \geqslant 0{,}819$. Делим обе части на $0{,}7$: $1 + \dfrac{r}{100} \geqslant 1{,}17$, откуда $r \geqslant 17$. Наименьшая возможная ставка — $r = 17$.

Проверим: при $r = 17$ последний платёж равен $0{,}7 \cdot 1{,}17 = 0{,}819$ млн — ровно на границе, условие «не менее» выполнено. Всё сходится.