Решите неравенство 1 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: log по основанию 4 x минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: log по основанию 4 в квадрате x минус log по основанию 4 левая круглая скобка 64x в степени 6 правая круглая скобка плюс 12 конец дроби больше или равно 0 .

левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка 4; 64 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 64; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство 1 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: log…

№2. Задание 15

ID: 00022315

Решите неравенство

1+\dfrac{5}{\log_4 x-3}+\dfrac{6}{\log_4^2 x-\log_4(64x^6)+12}\ge 0

Решение

Присмотрись ко второму знаменателю: $\log_4(64x^6)=\log_4 64+6\log_4 x=3+6\log_4 x$ , поэтому $\log_4^2 x-\log_4(64x^6)+12=\log_4^2 x-6\log_4 x+9=(\log_4 x-3)^2$ — это квадрат первого знаменателя!

Замена $u=\log_4 x-3$ ; ограничения: $x>0$ и $u\ne 0$ , то есть $x\ne 4^3=64$ . Неравенство: $1+\dfrac{5}{u}+\dfrac{6}{u^2}\ge 0$ .

Домножаем на $u^2>0$ — знак сохраняется: $u^2+5u+6\ge 0$ , раскладываем: $(u+2)(u+3)\ge 0$ . Парабола ветвями вверх с корнями $-3$ и $-2$ : решение $u\le -3$ или $u\ge -2$ , плюс помним про $u\ne 0$ .

Возвращаемся к $x$ . Если $u\le -3$ : $\log_4 x\le 0$ , то есть $0</p><p>Проверим концы. При$ x=1 $:$ u=-3 $, считаем$ 1-\dfrac{5}{3}+\dfrac{6}{9}=1-\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3}=0 $— равенство, точка входит. При$ x=4 $:$ u=-2 $, тогда$ 1-\dfrac{5}{2}+\dfrac{6}{4}=1-2{,}5+1{,}5=0 $— тоже входит. Точка$ x=64$ выколота: оба знаменателя нулевые. Всё сходится.

Ответ

(0; 1]\cup[4; 64)\cup(64; +\infty)