Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022314

Конструкция громоздкая, но держится на одном кирпичике — $\log_2 x$. Замена: $t=\log_2 x$. Пересчитываем: $\log_2(32x)=\log_2 32+\log_2 x=5+t$, $\log_2(x^{16})=16t$, а $\log_2^2 x-25=(t-5)(t+5)$ — это в точности произведение знаменателей левой части! Неравенство: $\dfrac{t+5}{t-5}+\dfrac{t-5}{t+5}\ge\dfrac{16t+18}{(t-5)(t+5)}$.

Ограничения: $x>0$, $t\ne 5$ и $t\ne -5$, то есть $x\ne 32$ и $x\ne\dfrac{1}{32}$.

Переносим всё влево и складываем над общим знаменателем: $\dfrac{(t+5)^2+(t-5)^2-16t-18}{(t-5)(t+5)}\ge 0$. Считаем числитель: $(t^2+10t+25)+(t^2-10t+25)-16t-18=2t^2-16t+32=2(t-4)^2$. Полный квадрат! Итого $\dfrac{2(t-4)^2}{(t-5)(t+5)}\ge 0$.

Квадрат отрицательным не бывает, так что вариантов два. Либо числитель равен нулю: $t=4$ — неравенство нестрогое, ноль подходит. Либо знаменатель положителен: $(t-5)(t+5)>0$, то есть $t<-5$ или $t>5$.

Возвращаемся к $x=2^t$: $t<-5$ даёт $05$ даёт $x>32$.

Проверим точку $x=16$: при $t=4$ слева $\dfrac{9}{-1}+\dfrac{-1}{9}=-\dfrac{82}{9}$, справа $\dfrac{64+18}{16-25}=-\dfrac{82}{9}$ — равенство, точка честно входит. Концы $x=\dfrac{1}{32}$ и $x=32$ выколоты: там знаменатели обращаются в ноль. Всё сходится.