Конструкция громоздкая, но держится на одном кирпичике — \log_2 x. Замена: t=\log_2 x. Пересчитываем: \log_2(32x)=\log_2 32+\log_2 x=5+t, \log_2(x^{16})=16t, а \log_2^2 x-25=(t-5)(t+5) — это в точности произведение знаменателей левой части! Неравенство: \dfrac{t+5}{t-5}+\dfrac{t-5}{t+5}\ge\dfrac{16t+18}{(t-5)(t+5)}.

Ограничения: x>0, t\ne 5 и t\ne -5, то есть x\ne 32 и x\ne\dfrac{1}{32}.

Переносим всё влево и складываем над общим знаменателем: \dfrac{(t+5)^2+(t-5)^2-16t-18}{(t-5)(t+5)}\ge 0. Считаем числитель: (t^2+10t+25)+(t^2-10t+25)-16t-18=2t^2-16t+32=2(t-4)^2. Полный квадрат! Итого \dfrac{2(t-4)^2}{(t-5)(t+5)}\ge 0.

Квадрат отрицательным не бывает, так что вариантов два. Либо числитель равен нулю: t=4 — неравенство нестрогое, ноль подходит. Либо знаменатель положителен: (t-5)(t+5)>0, то есть t<-5 или t>5.

Возвращаемся к x=2^t: t<-5 даёт 05 даёт x>32.

Проверим точку x=16: при t=4 слева \dfrac{9}{-1}+\dfrac{-1}{9}=-\dfrac{82}{9}, справа \dfrac{64+18}{16-25}=-\dfrac{82}{9} — равенство, точка честно входит. Концы x=\dfrac{1}{32} и x=32 выколоты: там знаменатели обращаются в ноль. Всё сходится.