Пусть t=3^x, t>0. Собираем всё в одну дробь: t + \dfrac{243}{t-84} = \dfrac{t(t-84)+243}{t-84} = \dfrac{t^2-84t+243}{t-84}. Неравенство: \dfrac{t^2-84t+243}{t-84} \leqslant 0.

Ищем корни числителя: D = 84^2 - 4 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084 = 78^2. Корни: t = \dfrac{84 \pm 78}{2}, то есть t_1 = 3, t_2 = 81. Дробь принимает вид \dfrac{(t-3)(t-81)}{t-84} \leqslant 0.

Метод интервалов: t=3 и t=81 закрашены (нули числителя), t=84 выколота (ноль знаменателя). При t>84 все скобки положительны — «плюс»; на (81;\ 84) — минус; на (3;\ 81) — плюс; на (0;\ 3) — минус. Нужны «минус» и нули числителя: t \in (0;\ 3] \cup [81;\ 84).

Возвращаемся к x (функция 3^x возрастает): 3^x \leqslant 3 даёт x \leqslant 1; далее 81 \leqslant 3^x < 84 даёт 4 \leqslant x < \log_3 84, ведь 81 = 3^4.

Проверим концы: при x=1 получаем 3+\dfrac{243}{3-84} = 3 - \dfrac{243}{81} = 3-3 = 0 \leqslant 0 — входит. При x=4: 81+\dfrac{243}{81-84} = 81 - 81 = 0 — входит. А x=\log_3 84 обнуляет знаменатель — точка честно выколота. Всё сходится.