ID: 00022311
Источник: ФИПИ
Пусть $t=3^x$, $t>0$. Собираем всё в одну дробь: $t + \dfrac{243}{t-84} = \dfrac{t(t-84)+243}{t-84} = \dfrac{t^2-84t+243}{t-84}$. Неравенство: $\dfrac{t^2-84t+243}{t-84} \leqslant 0$.
Ищем корни числителя: $D = 84^2 - 4 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084 = 78^2$. Корни: $t = \dfrac{84 \pm 78}{2}$, то есть $t_1 = 3$, $t_2 = 81$. Дробь принимает вид $\dfrac{(t-3)(t-81)}{t-84} \leqslant 0$.
Метод интервалов: $t=3$ и $t=81$ закрашены (нули числителя), $t=84$ выколота (ноль знаменателя). При $t>84$ все скобки положительны — «плюс»; на $(81;\ 84)$ — минус; на $(3;\ 81)$ — плюс; на $(0;\ 3)$ — минус. Нужны «минус» и нули числителя: $t \in (0;\ 3] \cup [81;\ 84)$.
Возвращаемся к $x$ (функция $3^x$ возрастает): $3^x \leqslant 3$ даёт $x \leqslant 1$; далее $81 \leqslant 3^x < 84$ даёт $4 \leqslant x < \log_3 84$, ведь $81 = 3^4$.
Проверим концы: при $x=1$ получаем $3+\dfrac{243}{3-84} = 3 - \dfrac{243}{81} = 3-3 = 0 \leqslant 0$ — входит. При $x=4$: $81+\dfrac{243}{81-84} = 81 - 81 = 0$ — входит. А $x=\log_3 84$ обнуляет знаменатель — точка честно выколота. Всё сходится.