Пусть t=3^x, t>0. Складываем дроби: \dfrac{1}{t+21}+\dfrac{1}{t-27} = \dfrac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)} = \dfrac{2t-6}{(t+21)(t-27)}. Неравенство: \dfrac{2(t-3)}{(t+21)(t-27)} \geqslant 0.

Замечаем: при t>0 скобка t+21 строго положительна, и на знак дроби она не влияет — её можно спокойно убрать. Остаётся \dfrac{t-3}{t-27} \geqslant 0: дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака. Либо обе скобки отрицательны — это t<3, плюс сам ноль числителя t=3; либо обе положительны — это t>27. Точка t=27 выколота (ноль знаменателя).

Итого t \in (0;\ 3] \cup (27;\ +\infty). Возвращаемся к x: основание 3>1, функция возрастает, значит 3^x \leqslant 3 даёт x \leqslant 1, а 3^x>27 даёт x>3.

Проверка x=1: \dfrac{1}{3+21}+\dfrac{1}{3-27} = \dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{24} = 0 \geqslant 0 — точка входит, красиво. А при x=2: \dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{9-27} = \dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{18} = \dfrac{3-5}{90} < 0 — не решение, как и должно быть. Всё сходится.