Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022310

Пусть $t=3^x$, $t>0$. Складываем дроби: $\dfrac{1}{t+21}+\dfrac{1}{t-27} = \dfrac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)} = \dfrac{2t-6}{(t+21)(t-27)}$. Неравенство: $\dfrac{2(t-3)}{(t+21)(t-27)} \geqslant 0$.

Замечаем: при $t>0$ скобка $t+21$ строго положительна, и на знак дроби она не влияет — её можно спокойно убрать. Остаётся $\dfrac{t-3}{t-27} \geqslant 0$: дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака. Либо обе скобки отрицательны — это $t<3$, плюс сам ноль числителя $t=3$; либо обе положительны — это $t>27$. Точка $t=27$ выколота (ноль знаменателя).

Итого $t \in (0;\ 3] \cup (27;\ +\infty)$. Возвращаемся к $x$: основание $3>1$, функция возрастает, значит $3^x \leqslant 3$ даёт $x \leqslant 1$, а $3^x>27$ даёт $x>3$.

Проверка $x=1$: $\dfrac{1}{3+21}+\dfrac{1}{3-27} = \dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{24} = 0 \geqslant 0$ — точка входит, красиво. А при $x=2$: $\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{9-27} = \dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{18} = \dfrac{3-5}{90} < 0$ — не решение, как и должно быть. Всё сходится.